Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 23. Марковский процесс с дискретными состояниямиПерепишем уравнение Смолуховского (22.3) для трех последовательных моментов времени
Допустим, что для достаточно малых
где
а кроме того, предполагаем существование производной
Очевидно, при
Так как вероятность перехода в какое-нибудь из возможных состояний должна равняться единице:
имеем
Подставим (23.2) в правую часть (23.1) и перейдем к пределу при
При начальных условиях (23.3) эти уравнения определяют зависимость вероятностей перехода от времени. Если число возможных состояний конечно, то нетрудно показать, что для любых непрерывных Наряду с (23.8) справедливы также следующие дифференциальные уравнения по начальному моменту
которые легко получить, выбрав промежуточный момент времени близким не к конечному, а к начальному моменту Уравнениям (23.8) удовлетворяют не только вероятности перехода, но и одномерная вероятность состояния
Умножив (23.8) на
Эти уравнения надо интегрировать при начальных условиях
Если рассматриваемый марковский процесс однороден, т. е. вероятность перехода имеет вид
В предположении, что при
мы получаем для нахождения
Рассмотрим два примера, относящиеся к однородным процессам. 1. Двусторонняя реакция. Система может при этом находиться в одном из двух состояний 1 и 2. В частности, речь может идти о распаде частицы (ионизация, диссоциация, химическое разложение, радиоактивный распад), когда состояние В общем случае возможен как процесс распада (переход
принимают вид
Второго уравнения можно было бы и не писать, а исключить
Пусть при
При
т. е. процесс эргодичен. Если восстановление невозможно
2. Двухпозиционное реле. Пусть оно находится под воздействием случайной последовательности управляющих импульсов, с одинаковой вероятностью имеющих знаки плюс или минус. Пусть положительный импульс создает или сохраняет состояние 1, отрицательный — создает или сохраняет состояние 2. Тогда
которые надо решать при начальных условиях (23.3). Решения имеют вид
Мы снова видим, что процесс эргодичен: при
В обоих примерах мы имеем монотонное приближение вероятностей к их предельным значениям. Возможен, однако, и осцилляторный ход, т. е. затухающие колебания. Если искать частное решение уравнений (23.13), пропорциональное
т. e. уравнение В примере двухпозиционного реле имелось два корня, а именно
Корни характеристического уравнения здесь равны
так что вероятности перехода стремятся к стационарным значениям
|
1 |
Оглавление
|