5.4. Комплексный ряд Фурье

Складывая и вычитая равенства Эйлера

получим

Поскольку и линейно независимы, то такими же будут и Поэтому паре функций соответствуют две комплексные функции Одна реальная частота в тригонометрическом обозначении приводит к двум частотам в комплексном обозначении: положительной и отрицательной. Ряд Фурье для интервала

при обозначении в комплексной форме принимает вид

где

Если — четная функция относительно то в соответствии с разд. Если же — нечетная функция, то

Комплексную форму можно получить непосредственно, если учесть, что интеграл

Поэтому, если допустить формальное разложение

то коэффициенты можно найти умножением обеих частей на (которое является комплексно-сопряженным с и интегрированием

Нетрудно увидеть (заменяя на если нет другого пути), что для действительной функции справедливо

где черта сверху означает комплексное сопряжение. Комплексный ряд Фурье означает просто изменение обозначений, но такое изменение, которое значительно упрощает запись. Затруднения из-за необходимости думать о комплексных функциях с положительными и отрицательными частотами вполне оправдываются тем выигрышем, который получается из-за простоты алгебраических выражений.

В разд. 4.5 было выведено неравенство Бесселя для реальных разложений в ряд Фурье. Для комплексного разложения мы поступим аналогично, но только добавим множитель в процессе усреднения

Разложим квадрат абсолютного значения, имея в виду, что он представляет собой произведение функции времени на ее сопряженное значение. Затем, заменив интегралы на соответствующие комплексные коэффициенты Фурье си, окончательно получим

Из равенства Парсеваля (если оно выполняется) видно, что сумма квадратов коэффициентов нерекурсивного фильтра (которая определяет шум при

прохождении через этот фильтр; см. разд. может быть найдена из интеграла от квадрата его передаточной функции Если вернуться к эффектам дискретизации, рассмотренным в гл. 2, то необходимо потребовать, чтобы комплексный ряд Фурье соответствовал двум отсчетам на самой высокой имеющейся частоте (если желательно избежать наложения некоторых высоких частот на более низкие в процессе дискретизации). Частотный интервал Найквиста в этом случае простирается от до

Мы использовали радианную меру (за исключением графиков), потому что удобнее для вычислительных операций. Как уже отмечалось, для большинства расчетов более удобно измерять углы в числе поворотов (циклов). Поэтому мы часто вносим изменение обозначения Частота свертывания Найквиста в циклах теперь равна 1/2, а основной интервал частот размещается от —1/2 до 1/2. Если мы имеем дело со скоростями взятия отсчетов, тогда интервал Найквиста содержит от —1/2 Гц до 1/2 Гц и соответствует нормированию расстояния между отсчетами к единице. Отметим еще раз, что при любых обозначениях всегда необходимо иметь, по крайней мере, два отсчета в пределах самой высокой используемой частоты.

Чтобы показать, насколько разложение Фурье удобно для периодической функции, заменим в ряде Фурье независимую переменную на независимую переменную (или ). Для заданной функции от , скажем соответствующее разложение будет иметь вид

где находится из выражения

Это обозначение согласовывается с обозначением для собственного значения в разд. 2.5.

если положить поэтому получим

Начиная с разд. 3.3, было использовано обозначение передаточной функции в виде

Тот факт, что индекс у коэффициентов отрицателен, обычно скрывался симметрией формул или нежеланием обозначать коэффициенты в приведенной формуле абстрактными символами Следовательно, , которые появляются в комплексном разложении Фурье для передаточной функции, есть те же коэффициенты, что и си, присутствующие в исходном определении передаточной функции. Для удобства в дальнейшем запишем формальный ряд Фурье с обозначением переменной через

где

В действительном ряду Фурье при переменной имеем

где