Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
1.3.2. Уравнения с разделенными переменными.
Уравнение (1) называется
дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными, если
Оно имеет вид
. (4)
Далее будем
считать, что
и
-
непрерывные функции. Пусть
есть решение
дифференциального уравнения (4) в прямоугольнике
,
определенное на
некотором интервале
.
Тогда имеет
место тождество
,
откуда,
интегрируя, получим
.
Здесь интегралы
и
суть
некоторые выбранные нами первообразные от
и
:
во втором равенстве
произведена замена переменной
в неопределенном интеграле (см. вашу книгу «Высшая
математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 5.2); константа
зависит от решения
.
Итак, любое
решение
нашего
дифференциального уравнения в указанном прямоугольнике удовлетворяет уравнению
при некоторой
постоянной
или
уравнению
. (5)
Левая часть
равенства (5) есть функция
, непрерывно дифференцируемая на
прямоугольнике
,
со свойствами
.
Если
продифференцировать формально (5) по
, считая, что
, то получим
,
т. е. исходное
дифференциальное уравнение (4).
Таким образом,
равенство (5) есть общий интеграл дифференциального уравнения (4) для его
решений вид
.
Согласно теореме 1 §1.2 все непрерывно дифференцируемые на
решения
уравнения (5) при любых
постоянных
являются
решениями дифференциального уравнения (4) вида
и обратно. Впрочем, обратное
утверждение мы доказали непосредственно.
Рассуждая
аналогично, меняя местами роль
и
, мы снова получим равенство (5), но
только теперь это будет общий интеграл, содержащий всевозможные решения вида
, нашего
дифференциального уравнения (4).
Таким образом,
равенство (5) будет общим интегралом дифференциального уравнения (4) как для
решений вида
,
так и для решений вида
.
Пример 1.
.
- общий интеграл.
Пример 2.
.
Эти интегралы
нельзя выразить в элементарных функциях. Все же мы считаем задачу, с точки
зрения теории дифференциальных уравнений, решенной.