§3.12. Поток вектора через ориентированную поверхность

В трехмерном пространстве  с прямоугольной системой координат  дана область  и на ней определено поле непрерывного вектора

.

В  задана ориентированная гладкая поверхность

,                            (1)

где  - область с кусочно-гладкой границей в плоскости параметров  и  - непрерывно дифференцируется на . функции. Будем считать, что единичная нормаль к  определяется векторным равенством (в связи со сказанным см. (1), (2) § 3.10)

.                                               (2)

Тогда косинусы углов нормали  с осями  выражаются равенствами

                           (3)

Будем еще обозначать через  ту же поверхность, но не ориентированную - с нее снята ориентация.

Примером указанного поля может служить поле скоростей  жидкости, текущей в области . Имеется в виду стационарное течение, т. е. такое, что ее скорость в произвольной точке  зависит от , но не зависит от времени .

Поставим задачу. Надо определить количество  жидкости, проходящей в единицу времени через поверхность , в направлении , или, как еще можно сказать, в направлении ориентации  (рис. 101).

Для этого рассмотрим малый элемент  поверхности , содержащей некоторую точку . Количество проходящей через него жидкости в направлении  в единицу времени, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, можно считать равным

,

Рис. 101

- произведению проекции  на направление нормали  на площадь  элемента. Это произведение мы записали двумя способами, использовав равенство .

Искомое количество жидкости, проходящей в единицу времени через  равно интегралу первого рода

,                                                 

от функции  по поверхности .

Заметим, что  есть непрерывная функция от , потому что по условию  и  - непрерывные вектор-функции от . Это показывает, что интеграл первого рода  существует (см. § 3.8).

Этот интеграл условились записывать еще и так:

.

В таком виде его называют интегралом второго рода.

В общем случае, когда  есть произвольный непрерывный вектор, определенный на , величину  называют потоком вектора  через ориентированную поверхность . Потоком вектора  через ориентированную поверхность  называется величина, обозначаемая следующим образом:

и определяемая при помощи равенства

,                                                   (4)

правая часть которого есть поверхностный интеграл первого рода от скалярного произведения

вектора  и единичной нормали, определяющей ориентацию .

Так как  есть непрерывная функция от точки , то интеграл в правой части (4) первого рода по  существует, это было доказано в § 3.8. Выражение в левой части (4) называют поверхностным интегралом второго рода.

Справедливо равенство

                   (5)

где в правой части стоит обычный кратный (двойной) интеграл по области, в котором в  и  надо подставить вместо  соответствующие функции  от . Это равенство следует из (3) и формулы (3) § 3.8.

Часто удобно вычислить интеграл (5) в декартовых координатах. Покажем, к каким вычислениям это приводит в предположении, что гладкий кусок  поверхности взаимно однозначно проектируется на измеримые части всех трех плоскостей координат. Гладкую поверхность можно разбить на конечное число таких кусков.

Итак, пусть гладкий кусок  описывается любой из трех функций

непрерывных соответственно на проекциях  на плоскости  и имеющих непрерывные частные производные, вообще говоря, только внутри этих проекций  (измеримых множествах).

Обозначим еще через  соответствующие ориентированные проекции ориентированной поверхности  на плоскости .

Обход контура  определяет при проектировании соответствующий обход площадок  (рис. 102). Нормаль  к  образует угол с осью , косинус которого равен

,

Рис. 102

где надо взять «+» или «-» в зависимости от ориентации . Имеем (см. (4) §3.8 и §3.10)

                 (6)

где предпоследний интеграл взят по ориентированной площадке  (см. § 3.8). Что касается последнего интеграла в этой цепи, то его надо рассматривать как обозначение предпоследнего. Это так называемый интеграл второго рода. Чтобы его вычислить, надо подставить  вместо  и проинтегрировать по ориентируемой проекции .

Из § 3.8 мы знаем, что , где надо взять «+» или «-» в зависимости от того, будет ли площадка  ориентирована положительно или отрицательно (см. также § 3.6). Аналогичные рассуждения могут быть проведены и в отношении остальных двух интегралов:

Мы доказали, что поток вектора  через ориентированную поверхность , определяемую нормалью , может быть вычислен по формуле

.                   (7)

Если поверхность  разрезана на конечное число частей, , каждая из которых проектируется на все три координатные плоскости, то чтобы вычислить поток  через , можно вычислить потоки  через каждый из кусков  указанным способом и сложить их.

Шаровая поверхность с центром в нулевой точке естественно разрезывается плоскостями координат на восемь кусков, обладающих указанным свойством.

Как уже было отмечено выше, выражение справа в (7) называют интегралом по поверхности второго рода.

Замечание 1. Если ориентированная поверхность  в пространстве  есть кусок координатной плоскости (ее уравнение  при некотором ), то поток вектора  через  есть просто двойной интеграл от соответствующей проекции вектора  на соответствующую ось. В частности, если  есть часть плоскости  с нормалью , то

.

Обратно, если нам дан, например, двойной интеграл вида

,

то его можно трактовать как поток вектора  через площадку , у которого проекция на ось  равна .

Замечание 2. Интеграл второго рода от вектора  по ориентированной поверхности  меняет знак при перемене ориентации поверхности.

В самом деле, пусть  обозначает ту же поверхность, что и , но ориентированную противоположно. Тогда

,

а

.