1.5.3. Принцип сжатых отображений.
Пусть в полном метрическом пространстве 
задан оператор (функция),
отображающий в
себя,
.
Оператор 
будем называть сжимающим,
если
,
где число 
не зависит от 
, 
.
Элементы метрического пространства будем также
называть точками этого пространства.
Точка 
называется неподвижной
точкой оператора ,
если 
.
Оператор будем называть непрерывным
в точке 
,
если
(т.
е. 
).
Легко видеть,
что сжимающий оператор всегда непрерывен в любой точке 
. Ведь, если 
, то
.
Теорема 2. Если
сжимающий оператор отображает полное метрическое пространство в себя, то существует
единственная неподвижная точка этого оператора.
Эту теорему называют принципом сжатых отображений.
Доказательство.
Докажем, что двух неподвижных точек быть не может. Пусть 
, 
- неподвижные точки: 
. Тогда
. (7)
Если предположить, что 
, то из (7) получаем 
, чего быть
не может. Значит, 
и
.
Переходим к
доказательству существования неподвижной точки.
Пусть - любая точка
пространства .
Составим последовательность элементов:
Эту
последовательность будем называть итерационной, порожденной оператором . Покажем, что эта
последовательность фундаментальна. Имеем
(8)
Далее на
основании неравенства треугольника и (8) получаем 
Так как 
, то при любом 
и 
,
если 
достаточно велико.
Итак,
последовательность 
фундаментальна, а так как пространство
полное,
то она сходится к некоторому элементу 
этого пространства
.
Докажем, что — неподвижная
точка:
при 
.
Таким образом, 
, и по первой
аксиоме расстояния заключаем, что 
, т. е. - неподвижная точка. Теорема доказана.
Замечание.
Используя тот факт, что - неподвижная точка, получаем
(9)
Далее
,
откуда
. (10)
Формулы (9) и
(10) показывают, что 
является приближенным значением
неподвижной точки с погрешностью, не
превышающей 
и
.
Обратим внимание на формулу (10), которая дает
оценку расстояния между и через расстояние между двумя соседними
точками и
итерационной
последовательности. Взяв за приближенное значение , мы гарантируем,
что погрешность приближения меньше правой части (10).
