§ 5.7. Малые колебания струны

Струной называется тонкая нить, работающая на растяжение, но не на изгиб. Если ненатянутую струну мять, она не сопротивляется, однако если ее растягивать, то в ней возникают напряжения.

Пусть концы куска натянутой струны закреплены в точках ,  оси . Будем считать, что величина возникающего в ней напряжения равна числу . Плотность струны будем считать равной числу  на всем ее протяжении. В момент времени  выведем нашу струну из равновесия, например оттянем пальцем и предоставим ей свободно колебаться (дрожать) – совершать малые колебания.

Рис. 125

Отклонение струны в любой ее точке, имеющей абсциссу , в момент времени  обозначим через

 .

Выведем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция .

На рис. 125 изображен график нашей струны в момент времени .

На элемент ее, соответствующий отрезку , действуют две силы натяжения  и . Скалярная величина каждой из этих сил равна :

.

Сила  приложена к точке , имеющей абсциссу , направлена по касательной к струне в этой точке и образует с положительным направлением оси  угол , тангенс которого равен

.

Так как струна совершает малые колебания, то можно считать приближенно

.

Таким образом,

.

Проекция силы  на ось , очевидно, равна

.

Проекция же силы  на ось , очевидно, равна

.

Сумма этих проекций равна

.

Мы пренебрегаем бесконечно малыми более высокого порядка, чем , потому что рассматриваем, как говорят, малые колебания струны.

С другой стороны, произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно

.

Поэтому на основании закона Ньютона

.

Сокращая на , получим дифференциальное уравнение колебаний струны:

                       .                  (1)

Теперь математическую задачу, к которой приводит изучение свободных колебаний струны, можно сформулировать так: требуется решить линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка (1) при начальных условиях

,                    (2)

и при краевых условиях

.                           (3)

Начальные условия (2) показывают, в каком положении находилась струна в начальный момент времени и какова скорость каждой ее точки при . Функции  и  - заданные функции.

Краевые условия (3) показывают, что концы струны закреплены в точках  и .

Решение поставленной задачи можно провести методом Фурье (так же как в § 5.5). Ищем сначала решение уравнения (1) в виде произведения

,                (4)

удовлетворяющее граничным условиям

                      (5)

для всех . Но тогда

,

потому что иначе было бы  и .

Подставляя произведение (4) в (1), получим

,

или

.

Но функция от  может равняться функции от , только если обе они равны постоянному числу, которое мы обозначим через :

.

В результате получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения

, ,      (6)

.           (7)

Уравнение (6) надо решить с краевыми условиями , т. е. надо решить для этого уравнения проблему Штурма-Лиувилля (см. § 5.5). Как показано в § 5.5, решением этой проблемы являются числа (собственные значения)

и соответствующие им нетривиальные функции (собственные функции)

,

удовлетворяющие при этих числах условиям (5).

Общее решение уравнения (7) при найденных  имеет вид

 .

Следовательно, все решения дифференциального уравнения (1) вида (4), удовлетворяющие граничным условиям (5), можно записать в виде

 ,

где постоянные ,  для каждого  могут быть взяты произвольно. Но тогда и любые суммы

суть решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (5). Вместе с этими суммами обладают этим свойством и суммы бесконечных рядов

,              (8)

если числа  и  достаточно быстро стремятся к нулю, чтобы эти ряды можно было два раза почленно дифференцировать.

Теперь в нашем распоряжении имеется большой запас функций , удовлетворяющих уравнению (1) и граничным условиям (3), - они определяются формулой (8), где числа ,  - произвольные, лишь бы выполнялись указанные условия сходимости.

Чтобы найти решение поставленной задачи, удовлетворяющее начальным условиям (2), дифференцируем (8) по :

     (9)

и приравниваем (8) и (9) при  заданным функциям  и :

, .                       (10)

Отсюда

, .     (11)

Если функции  и  непрерывные на , то этого достаточно, чтобы можно было вычислить числа ,  по формулам (11) и ряды (10) будут сходиться к этим функциям во всяком случае в смысле среднего квадратического (см. § 4.10). Конечно, если функции  и  не только непрерывны, но и имеют непрерывные производные (достаточно третьего порядка), то сумма ряда (8) уже заведомо будет иметь вторые непрерывные производные.