§ 5.9. Колебание круглой мембраны

Пусть круглая мембрана радиуса 1 в состоянии покоя занимает круг радиуса 1 с центром в начале полярной системы координат ,  (рис. 126). Будем считать, что мембрана закреплена по окружности . Если теперь подействовать на мембрану некоторой силой, то отклонение точек мембраны  будет функцией координат ,  и времени :

.

Так же как и в § 5.7, можно получить уравнение колебаний мембраны

.             (1)

Для уравнения (1) мы будем решать задачу с краевым условием

                     (2)

и начальными условиями

 .                        (3)

Мы рассматриваем, таким образом, осесимметрическое колебание мембраны, при котором все точки окружности радиуса  с центром в начале координат в начальный момент времени имеют скорости и отклонения, не зависящие от угла . Таким образом, и функция  будет зависеть только от  и  и уравнение (1) упрощается:

.                   (4)

Решение уравнения (4) с условиями (2), (3) можно найти методом Фурье. Ищем сначала все решения вида

.

Легко показать (как в § 5.7), что функции  и  удовлетворяют уравнениям

,                    (5)

.             (6)

Рис. 126

Таким образом, надо найти числа , для которых уравнение (6) имеет нетривиальное решение , удовлетворяющее граничному условию

.                    (7)

Эти числа  называются собственными значениями данной задачи Штурма-Лиувилля, а функции  - им принадлежащими собственными функциями.

Замечание. В § 5.7 рассматривалась задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с двумя граничными условиями . В данной же задаче, тоже для уравнения второго порядка, фигурирует только одно граничное условие . Это происходит потому, что данное уравнение имеет особенность в точке , вследствие которой это уравнение имеет наряду с ограниченными и неограниченные решения. Фактически и в данном случае ищутся собственные функции, удовлетворяющие двум граничным условиям: первое условие - собственная функция  должна быть ограничена в окрестности  и второе условие - .

Чтобы получить решение уравнения (6), введем новую переменную

, .

Тогда уравнение (6) превращается в такое же уравнение, но при :

.             (8)

Уравнение (8) уже изучалось в §1.24, пример 2. Оно имеет два линейно независимых решения, одно из них неограничено в окрестности точки , а другое есть функция Бесселя нулевого порядка

,

где степенной ряд справа сходится на интервале . Всевозможные ограниченные в окрестности нулевой точки решения уравнения (8) имеют вид , где  - произвольная постоянная (см. замечание 1 § 1.24). Соответствующие функции

и будут нужными нам ограниченными на  решениями уравнения (6).

Теперь остается подобрать  так, чтобы выполнялось граничное условие

.

Мы видим, что число  должно быть корнем функции . Хорошо известно, что функция  имеет бесконечное число нулей: . Например,

; ; … .

Итак, числа   суть собственные значения, a  им принадлежащие собственные функции нашей краевой задачи. Эти функции можно умножать на произвольные постоянные  и получать снова собственные функции

 ,

принадлежащие числам .

При  решение уравнения (5) запишется

.

Соответствующие решения уравнения в частных производных (4), удовлетворяющие граничному условию (2), имеют вид

,

где ,  - произвольные постоянные. Но тогда и сумма бесконечного ряда

        (9)

является решением уравнения (4), удовлетворяющим граничному условию (2), конечно, если числа  и  быстро стремятся к нулю, чтобы эти ряды можно было два раза почленно дифференцировать.

Чтобы найти решение поставленной задачи, коэффициенты  и  находим из начальных условий (3):

,                       (10)

.   (11)

Функции Бесселя  обладают свойствами, сходными со свойствами тригонометрических функций. Так, если функция  кусочно-гладкая на , то она непременно разлагается в ряд вида (10) (с постоянными коэффициентами ), сходящийся к ней, во всяком случае, в смысле среднего квадратического (см. также § 5.10).

Мы знаем, что тригонометрические функции ортогональны на . Функции Бесселя  тоже ортогональны на , но, как говорят, с весом :

      .           (12)

Отсюда следует, как мы это докажем ниже, что в равенствах (10), (11) числа ,  необходимо вычисляются по формулам

              (13)

Система непрерывных на отрезке  функций

            (14)

называется ортогональной на  с весом , где  непрерывная функция, если выполняются равенства

        .           (15)

Если функция  разложена в равномерно сходящийся на  ряд по функциям  системы (14):

,               (16)

то

     .               (17)

В самом деле, после умножения ряда на  его равномерная сходимость не нарушается и почленное интегрирование по  в силу свойств (15) приводит к равенству

                        ,

откуда и получаем формулы (17).

Докажем (12). Функция  удовлетворяет уравнению

        .

Умножая уравнение со значком  на , а уравнение с индексом  на  и вычитая из одного другое, получим

.

Легко проверить, что это уравнение можно представить в виде

.

Интегрируя это равенство по  в пределах от 0 до 1, получим

                        ,

так как интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу того, что .