§ 1.6. Доказательство теоремы существования решения диффереацнального уравнения первого порядка
Пусть задано
уравнение
(1)
где функция 
непрерывна на
прямоугольнике
и имеет
ограниченную частную производную 
, удовлетворяющую неравенству 
.
Нам надо
доказать, что на отрезке 
существует и притом единственное
решение 
дифференциального
уравнения (1), удовлетворяющее условию
(2)
где
(3)
При этом 
непрерывно
дифференцируема на 
. Дифференциальное уравнение (1) с
условием (2) эквивалентно следующему интегральному уравнению:
(4)
В самом деле,
пусть непрерывная функция является решением (4), тогда
дифференцируя тождество (4), получим
и, очевидно, .
Таким образом,
функция удовлетворяет
уравнению (1) с условием (2).
Обратно, пусть является решением
(1):
.
Тогда,
интегрируя это тождество в пределах от 
до 
, получим
или
т. е. является решением
(4).
В дальнейшем мы
будем исследовать уравнение (4).
Обозначим через 
множество
непрерывных функций , заданных на отрезке и удовлетворяющих
на нем неравенству 
.
В введем расстояние
.
Таким образом, , есть метрическое
пространство. Это полное пространство. В самом деле, если последовательность
функций 
удовлетворяет
в смысле введенной метрики условию Коши (является фундаментальной последовательностью),
то, как мы знаем, эта последовательность сходится равномерно на отрезке к некоторой
непрерывной на этом отрезке функции (см. § 1.5).
Для функций 
выполняется
неравенство
,
которое после
перехода к пределу при 
сохраняется:
.
Но тогда 
, что показывает,
что -
полное пространство.
Равенство
, (5)
приводит в
соответствие каждой функции некоторую функцию 
. В самом деле, есть 
, то 
есть непрерывная функция,
график которой принадлежит к прямоугольнику
,
поэтому в силу
непрерывности на
, правая
часть равенства (5) есть непрерывная функция от , т. е. 
есть непрерывная функция на . Далее
,
что показывает,
что 
.
Итак, мы можем
считать, что равенство (5) определяет оператор
,
отображающий
полное пространство , в полное пространство . Этот оператор
сжимающий, потому что, если
,
то
(6)
где число 
удовлетворяет
неравенству 
,
потому что по условию 
. Из (6) следует, что
.
Но тогда, как мы
знаем, в (см.
§ 1.5) существует единственная функция (неподвижная точка) , для которой
,
иначе говоря,
которая удовлетворяет уравнению (4), а, следовательно, уравнению (1) и условию
(2).
Применяя метод
итераций, можно получить приближенное решение уравнения (1):
, (7)
где 
.
На основании
формулы (10) § 1.5 оценка приближения имеет вид
.
Существуют и
другие приближенные методы решения задачи Коши.
Весьма простым
является метод Эйлера (см. § 1.7).
Остается еще
доказать, что если имеет непрерывные производные по и 
до 
-го порядка на 
, то указанное
решение уравнения
(1) имеет непрерывные производные по до 
-го порядка на .
В самом деле,
имеет место тождество
. (8)
Так как функция удовлетворяет
дифференциальному уравнению (1), то она всюду на имеет производную по и потому непрерывна.
Далее по условию непрерывна
по и на , поэтому правая
часть (8) непрерывна по на . Значит, 
также непрерывна на .
Если 
, то правая часть
(8) имеет непрерывную производную по переменной , значит, и левая часть тождества имеет
непрерывную производную по . Следовательно, функция имеет непрерывную
производную второго порядка. Из тождества (8) находим
. (9)
Применяя к
тождеству (9) те же рассуждения, что и выше, найдем, что при 
функция имеет непрерывную
производную третьего порядка на и т.д.
