§ 2.4. Сведение кратного интеграла к повторным

Рассмотрим интеграл

,                                                                        (1)

где функция  задана на прямоугольнике

,                                                                   (2)

т. е. на множестве точек , где

.

Здесь интегрирование производится по переменной . Но подынтегральная функция зависит не только от , но и от , поэтому интеграл (1) есть функция  от .

Говорят, что интеграл (1) есть функция от параметра .

Теорема 1. Если функция  непрерывна на прямоугольнике , то функция  непрерывна на отрезке .

Доказательство. Имеем

.

Так как функция  непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то она равномерно непрерывна на . Следовательно, для любого  найдется  такое, что

для всех , лишь бы . Но тогда

,

и теорема доказана.

Теорема 2. При условиях теоремы 1 существует повторный интеграл

.                                                                             (3)

В самом деле, непрерывная на отрезке  функция  интегрируема на нем.

Теорема 3. При условиях теоремы 1 справедливы равенства

.                              (4)

Первый член цепи (4) есть кратный интеграл от непрерывной функции на замкнутом множестве  с кусочно-гладкой границей. Он существует (см. ниже § 2.5). Повторные интегралы, представляющие собой второй и третий члены цепи равенства (4), тоже существуют по теореме 2.

Данная теорема утверждает равенство этих трех интегралов. Тем самым вычисление кратного интеграла сводится к вычислению одномерных интегралов по каждой переменной  в отдельности.

Доказательство. Разделим стороны  на  равных частей:

,

,

и через точки деления проведем прямые, параллельные соответственно оси  в оси . Этим  разделится на равные прямоугольники :

и

       (5)

Мы применили сначала к интегралу  по  от функции  теорему о среднем, а затем к интегралу  ту же теорему.

Мы доказали, что повторный интеграл в левой части (5) можно рассматривать как интегральную сумму кратного интеграла соответствующую разбиению  на части  при некоторых точках .

Перейдем теперь к пределу в равенстве (5) при . Левая часть (5) при этом есть определенное (не зависящее от ) число, а правая часть стремится при  к кратному интегралу от  по  (если кратный интеграл существует, то любая интегральная сумма стремится к этому интегралу).

Поэтому

,

и мы доказали первое равенство (4). Равенство второго повторного интеграла с кратным интегралом доказывается аналогично.

Рассмотрим в плоскости  область , ограниченную гладкими кривыми (рис. 35)

Рис. 35

,

где

.

Пусть на замыкании  области  задана произвольная непрерывная функция . Чтобы вычислить кратный интеграл от   по области  (или, что все равно, по ), применяют следующий метод: сначала интегрируют функцию  по переменной  от  до , считая  постоянным, а затем результат интегрируют по : на отрезке :

                          (6)

В случае, когда  есть прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, равенство (6) было выше обосновано (см. теорему 3). Теми же рассуждениями можно было бы обосновать (6) и в общем случае.

Пример 1. Вычислить площадь эллипса

.

Мы называем эллипсом множество точек , для которых , так же как множество точек , для которых . Подобную вольность мы будем позволять себе, называя эллипсоидом как множество точек , для которых , так и множество точек , удовлетворяющих уравнению

.

Решение. Область , о которой идет речь, ограничена снизу кривой

и сверху кривой

.

Искомая площадь равна

Пример 2. Вычислить площадь фигуры , ограниченной параболой  и прямой  (рис. 36).

Имеем

.

Рис. 36

Метод вычисления кратных интегралов сведением их к одномерным применяется в пространствах любых измерений. Покажем это на примерах.

Пример З. Требуется вычислить объем  эллипсоида

.

Решим относительно  уравнение

.

Получим две непрерывные функции

.

Они определены на множестве  точек , удовлетворяющих неравенству

.

Объем или трехмерная мера  равен кратному интегралу

.

Чтобы его вычислить, надо для любой точки  проинтегрировать единичную функцию (равную 1) по  от  до . Результат, зависящий от , затем надо проинтегрировать по всем :

Последнее равенство в этой цепи следует из формулы (6). Дальнейшие вычисления требуют владения техникой интегрирования:

Далее

.

Пример 4. Найти объем части параболоида вращения :  (рис. 37).

Так же как в примере 3, имеем

,

где  - множество точек , удовлетворяющих неравенству , т. е. это круг радиуса . Далее имеем

Рис. 37

Пример 5. Найти объем тела , ограниченного поверхностями параболоидов вращения  и цилиндрическими поверхностями  (рис. 38).

Наше тело представляет собой «параболический башмачок», который вырезают цилиндрические поверхности  и  между параболоидами вращения. Снизу башмачок ограничен куском поверхности , а сверху куском поверхности параболоида вращения . Проекция этого тела  на плоскость  дает множество , состоящее из точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам: .

Рис. 38

Поэтому

Вернемся снова к интегралу (1), зависящему от параметра.

Теорема 4. Если функция  непрерывна и имеет непрерывную производную  на прямоугольнике

,

то функция

имеет производную на отрезке , причем

.                                                    (7)

Доказательство. Мы должны доказать, что

.                                            (8)

Имеем, применяя теорему Лагранжа

.

Поэтому

при , где  зависящее от  достаточно мало. Дело в том, что функция  непрерывная на , равномерно-непрерывная на , т. е. для :

для любых .

Таким образом, равенство (8), а с ним и (7) доказано. Рассмотрим теперь более общий, чем (1) интеграл

,                                                          (9)

где  и  - непрерывные на отрезке  функции, удовлетворяющие неравенствам

,

а  непрерывна для всех точек , удовлетворяющих неравенствам

.

Покажем, что при указанных условиях функция  непрерывна на .

В самом деле, заменим в интеграле (9) переменную интегрирования  на другую переменную  при помощи равенства

.                                      (10)

При , при  ( фиксировано, и его мы считаем постоянным при замене переменной). Следовательно,

.            (11)

Здесь множитель  есть непрерывная функция от , а под знаком интеграла стоит непрерывная функция от точки , принадлежащей прямоугольнику . Поэтому сам интеграл - непрерывная функция на  согласно теореме 1. Функция  будет непрерывной на , как произведение двух непрерывных функций.

Теорема 5. Если функция  непрерывна вместе со своей частной производной , на

,

а функции  непрерывны на , то функция (9) имеет производную, вычисляемую по формуле

.      (12)

Доказательство. Введем вспомогательную функцию

,

заданную на множестве .

Согласно теореме 4

.

Используя правило дифференцирования интеграла с переменным пределом интегрирования, имеем

.

Далее , поэтому по правилу дифференцирования сложной функции получаем

что и требовалось доказать.

Пример 6. Найти производную от функции

.

Согласно (12) получаем

.