Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 5.10. Общая задача Штурма-Лиувилля
Рассмотрим
дифференциальное уравнение второго порядка
, (1)
где
- непрерывно
дифференцируемая на отрезке
функция, а
и
- непрерывные на этом
отрезке функции. При этом
,
,
на
и
- постоянное число.
Поставим
задачу (Штурма-Лиувилля). Требуется найти все числа
(собственные значения),
для которых существует нетривиальное дважды непрерывно дифференцируемое
решение
уравнения
(1) (собственная функция), удовлетворяющее граничным условиям
(2)
где
- постоянные
числа.
Можно
доказать, что:
1) Существует
счетное множество собственных значений задачи
,
которым
соответствуют собственные функции
.
2) При
все собственные
значения
положительны.
3) Собственные
функции на отрезке
образуют ортогональную и
нормированную систему с весом
:
4) Теорема
Стеклова. Всякая функция
, удовлетворяющая краевым условиям
(2) и имеющая непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вторую
производную, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным
функциям
,
.
Задача
1. Решить уравнение свободных колебаний струны при наличии сопротивления среды
при
начальных и краевых условиях
,
,
.
При
решении предполагать, что коэффициент трения
мал (
).
Ответ.
,
где
,
,
.
Задача
2. Решить уравнение
при
условиях
,
,
.
Ответ.
,
где
,
.
Указание.
Решение искать в виде
, где
- неизвестная функция.
Задача
3. Доказать свойство 3) ортогональности собственных функций задачи
Штурма-Лиувилля (1) на
, удовлетворяющих граничным условиям
(2).
Указание.
Необходимо следовать схеме доказательства ортогональности функций Бесселя (см.
§ 5.9).
Задача
4. Привести уравнение (Чебышёва)
(3)
к виду
(1) на
.
Указание.
Умножить левую и правую части уравнения (3) на
и найти функцию
из условия
.
.
Задача
5. Найти весовую функцию
для уравнения (Чебышёва-JIareppa)
.
Ответ.
,
.