§ 2.9. Полярная система координат в пространстве

Система уравнений

                           (1)

осуществляет переход от полярных (сферических) координат в пространстве к декартовым (рис. 50). Здесь  - расстояние точки  до начала координат (полюса полярной системы),  - угол между радиус-вектором  точки  и его проекции на плоскость  - угол между указанной проекцией и положительным направлением оси . Его отсчитывают в том направлении, в котором надо вращать вокруг оси  ось , чтобы прийти к оси  кратчайшим путем. Можно считать, что  и .

Функции справа в (1) непрерывно дифференцируемы с якобианом

.                (2)

Рис. 50                                                          Рис.51

Пусть  есть поверхность, описываемая в полярных координатах функцией , непрерывной на замыкании области  и пусть  - трехмерная область пространства , ограниченная поверхностью  и конической поверхностью, лучи которой выходят из нулевой точки и опираются на край  (рис. 51). Тогда для непрерывной на функции  имеет место равенство

,                     (3)

где .

Мы воспользовались общей формулой (3) § 2.7, учитывая равенство (1) и (2). В данном случае , поэтому .

Чтобы наглядно получить элемент объема в полярных координатах, рассечем пространство на малые части концентрическими шаровыми поверхностями с центром в полярном полюсе (точке ), плоскостями, проходящими через ось , и коническими поверхностями, определяемыми углами  и  (рис. 52), имеющими своей осью ось . Легко видеть, что полученные при этом малые ячейки можно считать приближенно прямоугольными параллелепипедами с ребрами , поэтому их объем, с точностью до бесконечно малых высшего порядка,

,

где  - одна из точек ячейки.

Рис. 52

Пример. Вычислить тройной интеграл

,

где  - область точек с положительными координатами, ограниченная поверхностями .

Введем полярные (сферические) координаты по формулам (1), тогда для области . Согласно формуле (3) имеем