Главная > Высшая математика Т3
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6.6. Интегрирование функций комплексного переменного

Пусть  - непрерывная функция комплексного , определенная в области  и  - гладкая кривая, лежащая в , с началом в точке  и концом в точке  (рис. 137), заданная уравнением

или, что все равно, двумя уравнениями

       .                (1)

image4

Рис. 137

Как всегда, направление на  соответствует изменению параметра  от  до  .

Интеграл от функции  вдоль кривой  определяется следующим образом:

.

Если учесть, что  и , то равенство (2) можно коротко записать так:

.             (3)

Таким образом, из (2) видно, что интеграл по комплексному переменному есть сумма двух криволинейных интегралов, и его вычисление сводится к вычислению обыкновенных интегралов.

Интеграл (2) существует для любой непрерывной функции  (в этом случае функции  и  также непрерывны) и любой гладкой кривой  (т. е. когда , ) непрерывны и ).

Если кривая  кусочно-гладкая и состоит из гладких ориентированных кусков , то по определению считаем

.                   (4)

На основании свойств криволинейного интеграла легко получаем

1)

,

где  та же кривая, что и , но ориентированная противоположно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 7.4).

2)

,

где  - постоянные числа.

3)

Если  при , то

,

где  - длина .

В самом деле, на основании свойства обыкновенного интеграла имеем

.

Пример 1.

,                       (5)

где  есть окружность с центром в точке , ориентированная против часовой стрелки.

В самом деле, уравнение  можно записать в форме

  ,

где  - радиус окружности . Поэтому

.

Пример 2. При целом

,                              (6)

где  - снова окружность с центром в точке , ориентированная против часовой стрелки. В самом деле,

   ,

потому что  для любых целых .

Теорема 1 (Коши). Если функция  аналитическая на односвязной области , то интеграл от  по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру , принадлежащему , равен нулю:

.

Доказательство. Так как  - аналитическая на  функция, то функции  и  непрерывно дифференцируемы, и выполняются условия Коши - Римана:

, ,                        (7)

в силу которых выражения  и  есть полные дифференциалы некоторых функций. Поэтому криволинейные интегралы по замкнутому контуру  от этих выражений равны нулю (см. § 3.4 и 3.5). Но тогда, согласно равенству (2),

.

Пример 3.

 ,

,  ,

, ,

, ,

где  - произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, потому что подынтегральные функции аналитические на плоскости . Ведь они имеют непрерывную производную во всех точках  комплексной плоскости.

Рис. 138

 

image6

Рис. 139

Как следствие из теоремы 1 получаем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть область  комплексной плоскости ограничена сложным положительно ориентированным кусочно-гладким контуром , т. е. при обходе по  точки  остаются слева. Тогда для функции , аналитической на , имеет место равенство

.

Поясним эту теорему. На рис. 138 изображена двусвязная область  с кусочно-гладким контуром , ориентированным положительно.

Соединим контуры  и  гладким куском , как на рис. 139. Ориентируем  двумя противоположными способами: . В результате получим новую область  односвязную, ограниченную ориентированным контуром . По теореме 1

.

Но

,

поэтому

.

Каждый из интегралов ,  при этом может и не равняться нулю.

Замечание 1. Для краткости мы будем позволять себе писать «контур» вместо «замкнутый непрерывный кусочно-гладкий контур».

Из теоремы 2 как следствие вытекает

Теорема 3. Пусть область  ограничена внешним контуром , ориентированным против часовой стрелки, и внутренними контурами , ориентированными тоже против часовой стрелки (как на рис. 140, где ), и пусть на  задана аналитическая функция .

image8

Рис. 140

Тогда имеет место равенство

.        (8)

В самом деле, если считать, что  - тот же контур, что и , но ориентированный по часовой стрелке, то по теореме 2

,

откуда следует (8), потому что

.

Отметим, что если в теореме 3 , то

             (9)

(рис. 141).

image7

Рис. 141

Замечание 2. Из равенства (9), т. е. из теоремы 3 при  следует, что равенства (5) и (6) остаются верными, если в них окружность  с центром в точке  заменить на любой замкнутый кусочно-гладкий контур  содержащий внутри точку  и ориентированный против часовой стрелки:

,                      (10)

       .                    (11)

Формулы (10) и (11) являются основными в этой теории. Именно к ним, как мы увидим, обычно сводится вычисление криволинейных интегралов от аналитических функций (см. далее § 6.10 и 6.11).

 

1
Оглавление
email@scask.ru