§ 1.22. Сведение системы уравнений к одному уравнению

Лемма. Пусть задана линейная система дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

                                    (1)

где  - заданные на  функции, имеющие нужное число производных.

Если функции  удовлетворяют этой системе, то функция  удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению - го порядка:

,

где

                                (2)

- характеристический многочлен системы (1), а функция  определяются через  и (см. ниже (4)).

Доказательство. Систему (1) запишем в следующем виде:

                                (1’)

Элемент определителя (2), расположенный в - й строке и - м столбце, обозначим через , а соответствующее алгебраическое дополнение через  (например, , ). Если заменить в этих выражениях  на , то получим дифференциальные операторы , . К ним можно применять рассуждения как при выводе теоремы Кронекера.

Имеем

(т.е. сумма произведений элементов какого либо столбца определителя  на адъюнкты элементов этого же столбца (другого столбца) равна определителю  (равна нулю)).

Поэтому

.                                    (3)

Применим теперь к первому уравнению (1’) (точней к левой и правой его частям) оператор (т.е. произведем ряд дифференцирований, умножений на число и сложений), ко второму – оператор  и так далее и сложим их. Тогда на основании (3) получим

,

т.е.

,

где

.                                  (4)

Замечание. Если все , то  и дифференциальное уравнение будет одно и то же для всех функций :

.

Пример. Свести к одному уравнению систему

Запишем эту систему в виде

                               (5)

Здесь . Применяя к первому уравнению (5) оператор , ко второму - оператор  и складывая, получаем

,

т.е.

,

Совершенно аналогично применяя к первому уравнению (5) оператор , ко второму - оператор  и складывая, получаем

.

Это дифференциальное уравнение мы можем получить и другим способом. Например, дифференцируя второе уравнение, имеем

.

Вычитая из этого уравнения второе уравнение системы, получим

.