Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
1.5.4. Приближенное значение корня функции.
Пусть функция 
имеет корень (нуль)
на 
. Будем
предполагать, что 
имеет
производные первого и второго порядков и 
на , т. е. монотонна на этом сегменте. Это
говорит о том, что на имеется один корень функции .
Составим
вспомогательную функцию
,
где 
- некоторая
непрерывно дифференцируемая функция, не равная нулю. Ясно, что неподвижная
точка 
функции
является
нулем и
обратно.
Поэтому, если функция отображает в и является сжимающей на , то итерационная последовательность
сходится
к неподвижной точке (т. е. к корню ), а 
можно взять за приближенное
значение корня. При различных мы получим различные приближенные
методы вычисления корня функции .
Рассмотрим
конкретную функцию 
и поставим задачу о приближенном
вычислении корня этой функции с погрешностью 0,01. Имеем 
, 
, 
. Следовательно, на 
имеется только один корень . Положим 
.
Тогда
.
Выясним, будет ли
эта функция сжимающей. По теореме Лагранжа получаем
,
где
.
Для отрезка 
и значения
функции не
выходят за пределы 
:
.
Таким образом,
на ,
функция 
сжимающая.
Пусть 
,
тогда 
и
На основании
(10) 
можно
взять за приближенное значение корня функции с погрешностью 0,01 (на самом деле с
погрешностью 0,003).
