Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 8.2. Операции над обобщенными функциями
Производная от обобщенной функции
по определению
есть обобщенная функция
, определяемая равенством
. (1)
Так как из того, что
, следует, что
, и из того, что
, следует, что
, то функционал
является
непрерывным функционалом над
. Линейность его очевидна. Определение
(1) естественно, потому что, если, например, обычная функция
, то
.
Ведь всякая функция из
стремится к нулю
при
.
Очевидно, что любая обобщенная функция
имеет производную (обобщенную) какого
угодно порядка, определяемую по индукции
.
Таким образом,
.
Например,
;
.
Таким образом, производная от
регулярной обобщенной функции Хевисайда
равна
, т. е. подлинно обобщенной функции
.
По определению последовательность
обобщенных функций
сходится к функции
, если
.
Отсюда автоматически также
следует, что последовательность производных
сходится к производной
, потому что
.
Можно рассматривать ряд
. (2)
функций
имеющий
своей суммой функцию
, что надо понимать в том смысле, что
.
Из сказанного, очевидно, следует,
что ряд (2) можно почленно дифференцировать:
,
(3)
т.
е. ряд (3) сходится в смысле
. Но тогда его можно почленно
дифференцировать любое число раз:
,
.
Для обобщенной функции
по определению
вводится операция умножения на бесконечно дифференцируемую функцию
с помощью
равенства
,
где для некоторых
.
Отметим еще, что если
,
- действительное
число, то обобщенные функции
,
определяются при помощи равенств
,
.
Естественность данных определений
легко выясняется на обычных функциях из пространства
.