§ 4.8. Пространство функций со скалярным произведением
Функция
называется
кусочно-непрерывной на отрезке 
, если она непрерывна на этом отрезке,
за исключением, быть может, конечного числа точек, где она имеет разрывы
первого рода (см. также § 7.4 нашей книги Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление»). Такие функции можно складывать и умножать на действительные
числа и получать как результат снова кусочно-непрерывные на функции.
Скалярным
произведением двух кусочно-непрерывных на 
функций 
и 
будем называть интеграл
. (1)
Очевидно,
для любых кусочно-непрерывных на функций 
выполняются свойства:
1) 
.
2) 
и
из равенства 
следует,
что 
на , исключая, быть
может, конечное число точек 
.
3) 
, где 
- произвольные
действительные числа.
Множество
всех кусочно-непрерывных функций, определенных на отрезке , для которых введено
скалярное произведение по формуле (1), мы будем обозначать 
и называть пространством 
или 
.
Замечание
1. В математике называют пространством 
совокупность функций , интегрируемых в
лебеговом смысле на вместе со своими квадратами, для
которых введено скалярное произведение по формуле (1). Рассматриваемое
пространство есть
часть 
. Пространство
обладает
многими свойствами пространства , но не всеми (см. далее примечание в §
4.9).
Из
свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Буняковского (см. нашу книгу
«Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», § 6,
(6))
,
которое на языке интегралов
выглядит так:
.
Величина
называется нормой функции .
Норма обладает
следующими свойствами:
1) 
,
при
этом равенство может быть только для нулевой функции 
, т. е. функции, равной нулю,
за исключением, быть может, конечного числа точек (см. нашу книгу «Высшая
математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 6.2, теорема 5),
2) 
,
3) 
, где 
- действительное
число.
Второе свойство
на языке интегралов выглядит так:
и называется неравенством
Минковского.
Говорят,
что последовательность функций 
, принадлежащих к , сходится к функции 
в смысле среднего
квадратического на (или еще по норме ), если
.
Отметим,
что если последовательность функций 
сходится равномерно к функции на отрезке , то для достаточно
больших 
разность
по
абсолютной величине должна быть мала для всех 
.
В
случае же, если стремится
к в
смысле среднего квадратического на отрезке , то указанная разность может и не быть
малой для больших всюду
на . В
отдельных местах отрезка эта разность может быть и велика, но
важно только, чтобы интеграл от ее квадрата по отрезку был мал для больших .
Пример.
Пусть на 
задана
изображенная на рис. 120 непрерывная кусочно-линейная функция 
, причем
.
Рис. 120
При любом
натуральном
,
и,
следовательно, эта последовательность функций не является равномерно сходящейся
к нулю при 
.
Между тем
т. е.
последовательность функций 
стремится к нулю в смысле среднего
квадратического на .
Из
элементов некоторой последовательности функций 
(принадлежащих ) построим ряд
. (2)
Сумма первых его членов
есть функция,
принадлежащая к .
Если случится, что в , существует функция такая, что
,
то говорят, что
ряд (2) сходится к функции в смысле среднего квадратического и
пишут
.
Замечание
2. Можно рассматривать пространство комплекснозначных функций 
, где 
и 
действительные
кусочно-непрерывные на функции. В этом пространстве функции
умножаются на комплексные числа и скалярное произведение функций и 
определяется
следующим образом:
,
а норма определяется как величина
.
