§ 2.6. Замена переменных. Простейший случай

Покажем, как видоизменяется интеграл

.                                                                 (1)

если в нем произвести замену переменных

.                            (2)

Будем считать, что  - область с непрерывной кусочно-гладкой границей  (рис. 39).

Рис. 39                                                                Рис.40

Преобразование, обратное к (2), отображает  на некоторую область  плоскости  с кусочно-гладкой границей  (рис. 40). При этом на  определена функция

.

Введем в плоскости  прямоугольную сетку со сторонами квадратов  длины . Она отображается при помощи уравнений (2), вообще говоря, в косоугольную сетку, делящую плоскость  на равные параллелограммы  (образы ), имеющие площадь (пояснения ниже)

.                                                                 (3)

Тем самым определены разбиения  соответственно областей .

Поясним равенства (3) подробнее. Произвольный квадрат  определяется двумя векторами , которые будем считать выходящими из левой нижней вершины . Первый вектор (направленный отрезок) совпадает с основанием , а второй - с вертикальной стороной . Преобразование (2) отражает эти векторы соответственно в векторы  - стороны параллелограмма . Площадь , как мы знаем, равна

.

Имеем

                      (4)

Мы считаем, что вторая сумма в этой цепи распространена только на полные квадраты , соответственно – первая – на соответствующие им полные параллелограммы  (см. замечание 4 § 2.1). Переходя к пределу в (4) при , получим формулу

.                               (5)

В этом рассуждении можно считать, что функция  непрерывна на  и тогда функция  будет непрерывной на . Но этот результат остается верным и в случае, когда  ограничена на  и непрерывна всюду на , исключая отдельные точки или кусочно-гладкие линии.

В следующем параграфе дается общая формула замены переменных в кратных интегралах.