§3.5. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Надо решить дифференциальное уравнение

.                                     (1)

на области  плоскости , где функции  и  непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию

т. е. условию

для вектора .

Но тогда в силу теоремы 3, § 3.4, если область  односвязна, то вектор  имеет на  потенциальную функцию :

.

Можно сказать, что существует на  функция  дважды дифференцируемая такая, что ее полный дифференциал есть левая часть уравнения (1). Поэтому это уравнение называют уравнением в полных дифференциалах.

Приравнивая функцию  произвольной постоянной, получим общий интеграл (см. с. 17) данного дифференциального уравнения (1)

.

Функцию , обращающуюся в нуль в заданной точке , можно получить, вычислив интеграл от вектора  по какой-либо непрерывной кусочно-гладкой кривой , соединяющей точку  с переменной точкой .

Особенно простые вычисления получим, когда  есть прямоугольник (см. рис. 78):

.

Достичь точки  из точки  можно путем , и тогда придется проделать следующие вычисления:

Рис. 78

.

потому что

.

В данном случае  легко видеть, что  есть потенциальная функция для вектора :

Пример. Решить дифференциальное уравнение

,                                     (7)

где  - действительные числа, в области  точек , имеющих положительные координаты . Здесь

т.е.  на ,

где  - односвязная область. Поэтому

и, следовательно, по теореме 3 § 3.4 существует функция , полным дифференциалом которой является левая часть (7). Эту функцию можно получить по формуле (5):

Таким образом, общее решение уравнения (7) в  есть функция , удовлетворяющая уравнению

,

где  - произвольная константа. При  общее решение находится из уравнения

.