§ 1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
1.3.1. Уравнение, записанное через дифференциалы.
Пусть 
и 
- функции,
непрерывные на некоторой области 
плоскости 
.
Выражение
(1)
называют дифференциальным уравнением первого
порядка.
На саном деле
выражение (1) объединяет в себе два дифференциальных уравнения первого порядка
- относительно функции 
и относительно функции 
.
В первом случае
под решением уравнения (1) понимается функция 
, определенная на некотором (зависящем
от нее) интервале 
,
имеющая непрерывную производную и удовлетворяющая уравнению (1):
Так как
дифференциал 
от
независимой переменной 
не равен нулю, то в этом уравнении
можно на сократить
и получить, что удовлетворяет
дифференциальному уравнению первого порядка, записанному в обычной форме:
. (2)
Относительно
решений вида дифференциальные
уравнения (1) и (2) эквивалентны.
Аналогично
рассуждая, мы получим, что относительно решений вида 
дифференциальное уравнение
(1) эквивалентно следующему:
(3)
Изучим подробнее
дифференциальное уравнение (2) (относительно 
).
Пусть функция отлична от нуля
всюду на 
. Тогда она в силу
ее непрерывности на связном множестве либо всюду на положительна, либо всюду на отрицательна. В этом
случае уравнение (2) можно записать в форме разрешенной относительно 
:
, (2')
т. е. уравнения
(2) и (2') эквивалентны на . Если же функция равна нулю в некоторых точках
, то
уравнения (2) и (2') будут эквивалентными только на части 
области , где функция отлична от нуля.
Пусть в точке 
функция N обращается
в нуль 
. Если
при этом 
,
то уравнение (2), очевидно, не имеет
решения, проходящего через эту точку, - ведь второе слагаемое в левой
части (2) при 
равно
нулю, а первое по условию не равно нулю.
Если же наряду
с равенством 
выполняется
также равенство 
,
то через точку 
может
проходить решение - одно или несколько или даже бесконечное число решений. Мы
увидим это далее из примеров.
Подобное
замечание можно сделать и в отношении дифференциального уравнения (3). Надо
только в этих рассуждениях поменять местами и , а также 
и 
.
Разберем еще
случай, когда обе функции и отличны от нуля всюду на . В этом случае
правая часть уравнения (2') тоже отлична от нуля всюду на и имеет один и тот же знак.
Но тогда решение дифференциального
уравнения (2') имеет производную 
того же знака. Это
показывает, что решение строго монотонно на том интервале , где оно задано. Но
тогда оно имеет обратную непрерывно дифференцируемую функцию на некотором
интервале 
.
При этом
что
показывает, что обратная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (3).
Итак, мы
получили, что если обе функции и отличны от нуля всюду на , то всякое решение
уравнения (1) вида имеет
обратную функцию ,
являющуюся тоже решением этого уравнения, но вида .
