§ 5.4. Задача Дирихле для полуплоскости

Пусть в полуплоскости  требуется найти ограниченное решение уравнения Лапласа

,                                                                (1)

удовлетворяющее граничному условию

.                              (2)

Легко проверить, что функции

при любом фиксированном  являются ограниченными гармоническими на , т. е. удовлетворяют на  уравнению (1). Но тогда сумма таких функций и даже интеграл по параметру также будет решением уравнения (1):

,                          (3)

лишь бы было законно дифференцирование под знаком интеграла по параметрам  и . Функции и  найдем из условия (2)

.                                  (4)

Запишем разложение функции  в интеграл Фурье

.                            (5)

Сравнивая формулы (4) и (5), мы видим, что

.                                 (6)

Подставляя эти функции в (3), получаем

Согласно § 4.14 пример 4) имеем

.                                        (3')

Замечание 1. Пусть функция  имеет непрерывные производные до четвертого порядка включительно и удовлетворяет условиям

Тогда из (6) следуют оценки

                                         (7)

где  - некоторая постоянная. В самом деле, если , то

.                                              (8)

Если же , то, интегрируя по частям четыре раза, получим

откуда

                                                 (9)

Из (8) и (9) следует первое неравенство (7). Второе неравенство (7) доказывается аналогично.

Оценки (7) обеспечивают существование, непрерывность и ограниченность функций  в верхней полуплоскости .

Замечание 2. Можно доказать, что если функция  непрерывна и ограничена на , то полученное при помощи формулы (3') решение задачи Дирихле для верхней полуплоскости единственно в классе ограниченных функций.