Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2.2. Сведения из теории меры Жордана
Ограничимся рассмотрением двумерных множеств. В плоскости зададим прямоугольную систему координат . Зададим натуральное число и две системы прямых , определяющих в плоскости прямоугольную сетку, состоящую из квадратов со стороной . Такую сетку мы будем называть - сеткой (рис. 29). Ясно, что при переходе от к каждый квадрат - сетки ( ) разрезается на четыре равных квадратика. Последние образуют уже сетку. В плоскости зададим произвольное ограниченное множество и для данного введем два множества и ,. Первое из них есть сумма (теоретико-множественная) квадратиков - сетки (), каждый из которых полностью принадлежит к (на рис. 29 заштрихованная часть). Будем называть внутренней фигурой множества (определяемой данной - сеткой). Может случиться, что есть пустое множество, т. е. нет ни одного квадратика, который бы полностью принадлежал к . Это имеет место, например, если есть множество, состоящее из конечного числа точек, или если это есть кусок гладкой кривой.
Рис. 29 Второе множество мы называем внешней фигурой множества (определяемой данной - сеткой). Оно есть сумма квадратиков - сетки, каждый из которых содержит в себе хотя бы одну точку . Очевидно, , и площади фигур которые мы будем обозначать через удовлетворяют неравенству . Если - пустое множество, то считают . Нетрудно видеть, что , откуда . Таким образом,
каковы бы ни были натуральные числа и . Если зафиксировать , то получится, что числа при неограниченном возрастании не убывают, оставаясь не большими числа . Это показывает, что существует предел . Его называют внутренней мерой множества и обозначают так: . Это вполне определенное число, не зависящее от . Мы получили неравенство , где числа монотонно не возрастают при неограниченном возрастании . Но тогда существует предел , который называют внешней мерой Жордана множества и обозначают через . Итак, произвольное ограниченное множество плоскости имеет внутреннюю и внешнюю меры и . Это неотрицательные числа, удовлетворяющие неравенству . Если на самом деле имеет место равенство, то называют измеримым по Жордану в двумерном смысле и число
называют двумерной мерой по Жордану. Меру Жордана мы будем называть также и просто мерой. Итак, множество измеримо (по Жордану), если для него . (1) Обозначим через границу множества . Чтобы получить совокупность квадратиков сетки, покрывающих или, как мы будем говорить, чтобы получить фигуру, покрывающую (см. рис. 29), надо из фигуры , вычесть в теоретико-множественном смысле фигуру и замкнуть полученное множество . Очевидно, площадь (двумерная мера) равна . Из (1) следует: . (2) Обратно, из равенства , (3) учитывая, что пределы и существуют, следует равенство (1), т. е. измеримость . Заметим, что предел (3) есть внешняя мера , т. е. . Но , поэтому и . Мы доказали важное утверждение: для того, чтобы множество плоскости было измеримым по Жордану, необходимо и достаточно, чтобы мера его границы равнялась нулю (). Ниже будет показано, что кусочно-гладкая кривая имеет, двумерную меру нуль. Но тогда область , имеющая кусочно-гладкую границу, измерима в двумерном смысле по Жордану. Рассмотрим примеры. Пример 1. Множество , состоящее из одной точки, имеет двумерную меру нуль . Точка может принадлежать самое большее к четырем квадратикам -сетки, их общая площадь стремится к нулю при и, следовательно, , но , поэтому . Пример 2. Непрерывная кривая (рис. 30) имеет двумерную меру нуль .
Рис. 30 В самом деле, вследствие равномерной непрерывности на для любого найдется такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству . Найденное можно уменьшить, как мы хотим. Будем считать, что . Зададим -сетку с
и рассмотрим какой-либо столбик из квадратов сетки, содержащих в себе точки . Его высота не превышает (на рис. 30 при выделенный столбик включает четыре квадратика - сетки, содержащих точки и ), а площадь не превышает , где - длина некоторого отрезка, содержащего в себе отрезок . Это показывает, что общая площадь квадратиков, покрывающих кривую , при достаточно большом может быть сделана меньшей наперед заданного как угодно малого положительного, и, следовательно, внешняя мера , тем более внутренняя, равна нулю. Но тогда . Так как сумма конечного числа множеств, имеющих меру нуль, очевидно, имеет меру нуль, то из примера 1 следует, что двумерная мера множества, состоящего из конечного числа точек равна нулю. А из примера 2 следует, что гладкая кривая (4) имеет двумерную меру нуль (рис. 31). Дело в том, что если - гладкая кривая, то отрезок можно разделить на конечное число отрезков точками
Рис. 31 Рис.32 так, что на каждом частичном отрезке одно из двух уравнений (4) можно разрешить относительно и подставить во второе. В результате получим, что соответствующий кусок кривой описывается либо уравнением вида , либо уравнением вида
где функции и непрерывны на соответствующих отрезках. Но тогда, как мы знаем из примера 2, . Поэтому, так как есть сумма конечного числа кусков . , каждый из которых имеет меру нуль, то . Отметим, что если два множества и измеримы, то измеримы также их сумма , разность и пересечение . В самом деле, обозначим через границу множества. На рис. 32 изображены два множества и . Очевидно, (5) Если и измеримы, то , но тогда и меры левых частей (5) равны нулю, что показывает, что множества и , , измеримы.
Рис.33 Здесь мы воспользовались очевидным свойством меры. Если множество имеет меру нуль, то и любое его подмножество имеет меру нуль. Наконец, если и - измеримые множества, пересекающиеся разве что по своим границам, то . (6) В самом деле, очевидно (рис. 33) , и так как
то, очевидно, , что доказывает (6). Отметим, что если область измерима, то ее мера Жордана равна мере ее замыкания: . В самом деле, где - граница и , где . Пример 3. Множество , состоящее из всех рациональных чисел отрезка , не измеримо по Жордану: . В трехмерном случае теория меры Жордана аналогична. Теперь вводится прямоугольная система координат и три семейства параллельных плоскостей
делящих пространство на кубики с ребром . Такое разбиение пространства мы снова называем -сеткой (трехмерной). Пусть есть ограниченное множество точек, принадлежащих пространству. Обозначим через внутреннюю фигуру множества - совокупность кубиков сетки, полностью принадлежащих , и через ,- внешнюю фигуру множества - совокупность кубиков сетки, каждый из которых содержит хотя бы одну точку . Снова заключаем, что
откуда следует:
и , каковы бы ни были натуральные и . Отсюда вытекает существование пределов . Первый предел в этом неравенстве называется внутренней (трехмерной) мерой : , а второй - внешней мерой : . Таким образом, . Если , то множество называют измеримым в трехмерном смысле по Жордану и число называют его трехмерной мерой. Рассуждениями, подобными тем, которые велись в связи с равенствами (1), (2), (3), доказывается, что множество измеримо в трехмерном смысле тогда и только тогда, когда его граница имеет трехмерную меру нуль. Мы не будем формулировать дальнейшие свойства измеримых в трехмерном смысле множеств. Они аналогичны отмеченным выше свойствам множеств, измеримых в двумерном смысле. Остановимся только на объяснении того, что кусочно-гладкая поверхность имеет трехмерную меру нуль. Такая поверхность состоит из конечного числа кусков , пересекающихся разве что по своим краям, каждый из которых при соответствующем переобозначении координат определяется уравнением , где - замыкание некоторой ограниченной в плоскости области. Зададим и подберем так, чтобы
для всех точек , находящихся на расстоянии друг от друга . Считаем и берем - сетку с . Рассматриваем какой-либо столбик из кубиков сетки, содержащих в себе точки . Его высота не превышает , а объем не превышает. Общий объем всех таких столбиков, покрывающих , не превышает . (7) Здесь есть площадь квадрата , покрывающего множество . Правая часть (7) может быть взята как угодно малой, что доказывает, что трехмерная мера . Можно ввести по аналогии понятие -мерной меры для множеств пространства и показать, что гладкая поверхность в имеет -мерную меру нуль.
|
1 |
Оглавление
|