3.4.2. Доказательство свойств потенциала.
Прежде
всего докажем эквивалентность свойств 1) и 2).
Пусть
справедливо свойство 1). Зададим в
две точки
и
(рис. 74). Соединим их двумя
различными ориентированными от
до
кривыми
и
, принадлежащими
. В силу 1)
,
поэтому
,
и мы доказали
свойство 2).
Рис. 74 Рис.75
Обратно,
пусть верно свойство 2). Зададим произвольный ориентированный замкнутый контур
(рис. 75).
Разрежем
его в точках
и
соответственно
на две ориентированные кривые
По
свойству 2)
,
откуда
,
и мы доказали
1).
Пусть
теперь известно, что поле вектора
имеет в области
потенциальную функцию
.
Зададим
на
точку
и переменную точку
. Соединим
с
ориентированной от
до
непрерывной
кусочно-гладкой кривой
определенной
уравнениями
.
Таким
образом, значениям
параметра
соответствуют точки
.
Если
подставить в
вместо
соответственно
функции
то
будет
непрерывной кусочно-гладкой функцией от
. На основании теоремы о производной
сложной функции в точках гладкости
(где
имеет касательную)
.
Отсюда
следует, что
(2)
т. е.
криволинейный интеграл второго рода при фиксированной точке
зависит только от положения
точки
от
пути, по которому она достигается из точки
. Этим доказано свойство (2) и
равенство (1), если известно, что вектор
имеет в области
потенциальную функцию
.
Рис. 76
Нам
остается доказать, что из свойства 2) следует, что существует определенная на
потенциальная
функция
, градиент
которой на
равен
. В самом
деле, зададим фиксированную точку
(рис. 76). Пусть известно, что 2), т.
е. данное поле вектора
таково, что криволинейный интеграл по
любой непрерывной кусочно-гладкой кривой, соединяющей
с произвольной точкой
, не зависит от этой
кривой, а зависит только от точки
. Таким образом, существует
определенная на
функция
такая,
что
.
Чтобы
доказать, что
в
точке
, будем
рассуждать следующим образом. Точку
соединим с
специальной кривой
(см. рис. 76),
которая заканчивается некоторым отрезком
, параллельным оси
. Этот отрезок мы продолжим
до некоторой точки
. Таким образом, переменная точка
отрезка
имеет постоянные
координаты
и
и только
одну переменную координату
. Кривую
представим в виде суммы кривых
,
и тогда
, (3)
где
- постоянная, не
изменяющаяся при движении точки
по отрезку
, а
. Надо учесть, что уравнения
отрезка
можно
записать в параметрическом виде (через параметр
)
, откуда следует, что
Итак,
мы получили равенство (3), верное, какова бы ни была точка
отрезка
. Здесь
фиксированы, а
может изменяться.
Так как под интегралом по
в правой части (3) стоит непрерывная
функция от
,
то
.
Аналогично
можно доказать, что
,
вводя
специальные кривые
, оканчивающиеся отрезком, параллельным
оси
в
одно случае и параллельном оси
в другом.
Пример
2. Вычислим работу, которую совершает сила
, определенная в примере 1, вдоль пути,
соединяющего точки
и
.
Сила
имеет
потенциальную функцию
на области
, представляющей
собой пространство без нулевой точки. Поэтому криволинейный интеграл не зависит
от пути.
В
силу формулы (1) интеграл от вектора
вдоль любого (кусочно-гладкого) пути
, соединяющего точки
и
, равен
.
Итак,
искомая работа вектора
равна
.