3.4.3. Ротор вектора.

Возникает вопрос, как узнать, имеет ли вектор  потенциальную функцию на данной области . Для этого введем некоторые новые понятия.

Введем символический вектор . Его называют оператором Гамильтона.

Ротором вектора  называется вектор

.

Таким образом, можно сказать, что ротор вектора  равен векторному произведению символического вектора (оператора Гамильтона) на вектор .

Следующие две теоремы дают ответ на поставленный выше вопрос.

Теорема 2. Если вектор  имеет на  потенциальную функцию , имеющую вторые непрерывные частные производные, то

.

В самом деле, по условию теоремы

.

Поэтому

на , что и требовалось доказать.

Обратное утверждение тоже верно, но, вообще говоря, для односвязных областей.

Область  называется односвязной, если любую, принадлежащую к ней замкнутую кусочно-гладкую кривую  можно стянуть в точку, принадлежащую . При этом в процессе стягивания  все время должна принадлежать к .

В этом определении достаточно считать, что кривые  самонепересекающиеся. Такие кривые являются границами соответствующих односвязных областей .

Примерами односвязных областей могут служить все пространство или шар без его границы (сферической поверхности).

С другой стороны, все пространство (трехмерное!), из которого выкинута прямая, есть пример неодносвязной области.

Теорема 3. Если область  односвязная и на ней задан вектор  с непрерывно дифференцируемыми компонентами, для которого

,

то вектор  имеет на  потенциальную функцию (потенциал).

В трехмерном случае теорема 3 следует из формулы Стокса, которая будет доказана в § 3.15; в двумерном (плоском) случае она следует из формулы Грина, которая будет доказана в § 3.7.

В плоском случае мы рассматриваем поле вектора

,

где  и  - непрерывные функции на области  плоскости.

Функция  называется потенциальной для вектора  на , если

.

Изложенные выше факты верны и для плоскости. Надо только всюду опустить  и считать, что .

В плоском случае определение односвязной области сохраняется. Обратим внимание, что плоскость (двумерное пространство), из которой выкинута точка, не есть односвязная область.

Пример 3. Вектор  с компонентами

имеет непрерывные частные производные на области , представляющей собой плоскость с выкинутой нулевой точкой.

Если записать вектор  в виде

,

то отсюда видно, что

.

Легко проверить, что в данном случае

 на .

Область  (плоскости!) не односвязна. Она не удовлетворяет условию теоремы 3, и сама теорема, как мы увидим, для нее неверна.

В самом деле, кривая  (окружность)

,

очевидно, замкнута и принадлежит к . Криволинейный интеграл от вектора  вдоль  равен

.

Мы видим, что нашлась замкнутая кривая , вдоль которой интеграл от  не равен нулю.

Это показывает на основании теоремы 1, что на  не существует потенциальной функции для рассматриваемого здесь вектора ,

С другой стороны, если из плоскости  выкинуть отрицательную полуось  или, как говорят, произвести разрез плоскости по отрицательной полуоси , то оставшееся множество, которое мы обозначим через  (рис. 77), будет односвязным, и так как на , то на основании теоремы 3 на  уже существует потенциальная функция вектора . Эту функцию можно записать следующим образом:

,

где , - ориентированная кривая, соединяющая некоторую начальную фиксированную точку , например , и переменную точку , (см. рис. 77).

Заметим, что кривая  не должна пересекать отрицательную полуось .

Рис. 77