§ 5.5. Уравнение теплопроводности в стержне

Рассмотрим тонкий изолированный (покрытый тепловой изоляцией) стержень, лежащий на отрезке  оси  (рис. 124). Предполагается, что его физические свойства в точках любого его сечения одинаковы. Температура стержня есть функция

от абсциссы  сечения и времени .

На основании сказанного в § 5.1 функция  удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных

,                                                    (1)

где  - константа, если предположить, что теплоемкость и теплопроводность стержня не зависят от .

Рис. 124

Поставим задачу: найти функцию , непрерывную для , имеющую непрерывные частные производные  и для , удовлетворяющую дифференциальному уравнению (1) для , и следующим условиям:

1) начальному условию

,                                     (2)

где  - заданная на отрезке  непрерывная функция;

2) граничным условиям

.                                 (3)

Таким образом, предполагается, что в начальный момент времени  температура в стержне выражается функцией  (см. (2)), а на протяжении всего времени опыта на концах стержня искусственно поддерживается температура нуль (см. (3)).

Уравнение (1) будем решать методом Фурье разделения переменных. Суть его заключается в том, что мы отыскиваем частные решения уравнения (1), удовлетворяющие пока только краевым условиям (3), в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одного переменного:

.                                                     (4)

При этом мы ищем нетривиальные решения, т. е. тождественно не равные нулю. Из (4) имеем

.

Подставляя эти выражения в (1), получаем

.                                                                      (5)

В (5) левая часть не зависит от , а правая – от , поэтому

,                                                         (6)

где  - некоторая постоянная.

Таким образом, функция  и  удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям

,                                                                   (7)

,                                                                 (8)

где  - некоторая постоянная.

Так как мы ищем решения, удовлетворяющие условиям (3), то при всех  должны выполняться равенства

.

Если предположить, что , то  для всех  и . Поэтому имеется хотя бы одно , для которого . Но тогда

.                                                                        (9)

Мы пришли к следующей задаче. Требуется найти такие числа , для которых дифференциальное уравнение (7) имеет нетривиальное (не равное тождественно нулю) решение на отрезке , удовлетворяющее граничным условиям (9).

Задача эта называется проблемой Штурма-Лиувилля для уравнения (7) на отрезке  при граничных условиях (9). Искомые числа  называются собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля, а соответствующие нетривиальные функция, удовлетворяющие граничным условиям (9), называются собственными функциями, соответствующими этим значениям.

Будем искать решение поставленной задачи среди положительных чисел . В этом случае числа  являются корнями характеристического уравнения, поэтому общее решение уравнения (7) запишется так:

.

Из (9) находим

     или       

Чтобы получить решение, тождественно не равное нулю, нужно считать  и . Последнее возможно только при натуральных .Каждому  соответствует решение

,

удовлетворяющее, очевидно, граничным условиям (9). Это нетривиальное (тождественно не равное нулю) решение уравнения (7). Итак, числа

суть собственные значения поставленной выше краевой задачи (проблемы Штурма-Лиувидля), а функции

при любом  - соответствующие этим значениям собственные функции.

Мы нашли все собственные значения и собственные функции поставленной задачи Штурма-Лиувилля, потому что при любом  дифференциальное уравнение (7) имеет только тривиальное (тождественно равное нулю) решение, удовлетворяющее условиям .

В самом деле, при  общее решение уравнения (7) имеет вид . Найдем постоянные  и  из условия (9):

Определитель данной системы

,

поэтому система имеет только тривиальное решение . Таким образом, частного решения уравнения (7), тождественно не равного нулю и удовлетворяющего условиям (9), не существует при .

Если , то характеристическое уравнение имеет число нуль кратным корнем, поэтому общее решение (7) запишется

.

Учитывая краевые условия, получаем , откуда  и .

Остается решить уравнение (8) при найденных :

,

где  - произвольная постоянная.

Итак,

                               (10)

- суть частные решения уравнения (1), удовлетворяющие краевым условиям (3).

Легко видеть, что конечная сумма

,

где  - произвольные постоянные, в свою очередь представляют собой решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям . Но тогда и сумма бесконечного ряда

                                                        (11)

при достаточно малых коэффициентах  будет удовлетворять уравнению (1) и граничным условиям .

Теперь мы подбираем числа  так, чтобы выполнялось равенство

.                                                        (12)

Числа  подбираются единственным образом - именно по формуле

,

т. е. они должны быть коэффициентами Фурье функции  (см. § 4.3).

Если функция  непрерывка на , то ряд (12) сходится к ней в смысле среднего квадратического на  (см. теорему 2 § 4.10).

Если окажется, что ряд

сходится, то вследствие неравенств

,                                                  (13)

ряд (11) равномерно сходится и его сумма есть непрерывная функция для .

При  ряд (11) сходится очень быстро - его можно дифференцировать почленно сколько угодно раз. В частности,

                           (14)

откуда видно, что

.

Законность равенств (14), т. е. почленной дифференцируемости ряда (11) при , может быть прослежена следующим образом. Если задано , то возьмем  так, чтобы . Тогда, например, в случае первого ряда (14), считая, что , будем иметь

.

Но ряд из положительных (постоянных!) чисел

сходится (что можно проверить по признаку Даламбера или Коши), а это вместе с оценкой (13) показывает, что в дифференцирование два раза по  произведено законно.

Замечание. Выше мы получили, что задача Штурма-Лиувилля

,        (15)

имеет собственные значения

, , , …, , … .                (16)

Они положительны и им соответствуют собственные функции

, , , …, , …,            (17)

образующие ортогональную систему на отрезке :

    .

Из теории тригонометрических рядов известно, что система (17) полна в  (см. теорему 2 § 4.10), т. е. ряд Фурье произвольной кусочно-непрерывной на отрезке  функции по этой системе сходится к ней в смысле среднего квадратического.

Некоторые сведения, обобщающие эти факты, читатель может найти далее в § 5.10.