§ 2.15. Несобственный интеграл, зависящий от параметра

Рассмотрим несобственный интеграл

,                  (1)

зависящий от параметра . Будем считать, что интеграл имеет единственную особенность в точке .

Точнее, мы рассматриваем область  точек  -мерного пространства, по которой происходит интегрирование и область  точек  - область параметров. Так как мы интегрируем по , а в дальнейшем будем интегрировать и по , то будем считать, что обе области  и  ограничены и имеют кусочно-гладкую границу. Что же касается функции , то предполагается, что она непрерывна на , за исключением точек , где она имеет особенность.

На  в окрестности каждой точки  функция , вообще говоря, неограниченна.

Мы предполагаем, что несобственный интеграл (1) существует для всех . Это значит, что для каждого  существует конечный предел

,               (2)

где

                                                   (3)

и  есть множество точек , из которого выкинут шар радиуса  с центром в точке .

Важно отметить, что интеграл (3) - это обыкновенный интеграл Римана (собственный), и так как функция  непрерывна на  при любом , то для него выполняются известные свойства:

1)  непрерывная функция от .

2) Законно менять местами порядок интегрирования

.                               (4)

3) Законно дифференцировать под знаком интеграла

                                (5)

при дополнительном условии, что частная производная  непрерывна на .

Возникает вопрос, сохраняются ли свойства 1) - 3) при , т. е. сохраняются ли они для собственного интеграла (1). Это, вообще говоря, не так. Однако, если на сходимость  к  и  к  наложить дополнительное условие равномерной сходимости, то свойства 1) - 3) сохраняются. В связи с этим полезно понятие равномерной сходимости интеграла.

По определению интеграл (1) сходится равномерно на  (или по ), если

,

т.е.

равномерно на .

Другими словами, интеграл (1) сходится равномерно на , если выполняется условие: для любого  существует  такое, что

К равномерно сходящимся интегралам можно применить теорию равномерно сходящихся последовательностей функций, связанную с теорией равномерно сходящихся рядов.

Мы знаем, что если последовательность функций , непрерывных на множестве , сходится равномерно на, то предельная функция  непрерывна на , и тогда

.                  (6)

Мы знаем также, что если дополнительно считать, что частные производные  существуют и непрерывны на  и, кроме того,

,

равномерно на , то функция  имеет производную , равную :

.

При доказательстве этих свойств не имеет значения тот факт, что , возрастая, пробегает натуральные числа. Можно считать также, что  стремится непрерывно к нулю . Поэтому указанные свойства автоматически переносятся на равномерно сходящиеся несобственные интегралы.

Теорема 1. Если интеграл (1) равномерно сходится на  и функция  непрерывна на , за исключением точек  то интеграл (1) есть непрерывная функция от . При этом

.

В самом деле, из непрерывности , и равномерной сходимости , на  следует, что  непрерывна на . Далее,

В этой цепи мы воспользовались (во втором равенстве) формулой

,

верной, потому что  и  непрерывны на  и  равномерно на , и (в четвертом равенстве) формулой (4).

Теорема 2. Если, кроме того, что выполняются условия теоремы 1, известно, что частная производная  непрерывна на , за исключением точек , и интеграл

равномерно сходится на , то имеет место равенство

,                         (7)

т. е. законно дифференцировать под знаком интеграла.

В самом деле,

Во втором равенстве этой цепи применено свойство: если функция  и  непрерывны на  и обе при  равномерно сходятся на  соответственно к  и , то  на . В четвертом равенстве применено свойство (5), верное для любого .

Следующая теорема дает достаточный признак равномерной сходимости несобственного интеграла (1).

Теорема 3 (признак Вейерштрасса). Если, функция  непрерывна на , за исключением точек , и удовлетворяет на  неравенству

,                                              (8)

где интеграл

                                                                  (8')

сходится, то интеграл (1) равномерно сходится на .

Доказательство. Зададим . В силу сходимости интеграла (8') найдется  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству

.

Во втором неравенстве мы воспользовались условием (8). Таким образом  так, что для всех , удовлетворяющих неравенству

.

А это значит, что интеграл (1) сходится равномерно на .

Пример 1. Интеграл

                                                (9)

существует для любых . При  точка  особая, а при  на отрезке  подынтегральная функция непрерывна и интеграл никаких особенностей не имеет.

Для выяснения вопроса о равномерной сходимости несобственного интеграла мы должны оценить интеграл

,

который принято называть остатком интеграла, соответствующего особой точке . Для произвольного  невозможно подобрать  так, чтобы остаток был меньшим , потому что при любом фиксированном

.

Поэтому интеграл (9) сходится неравномерно относительно

.

Отметим, что функция  непрерывна на .

Далее очевидно, что для  интеграл (9) сходится равномерно. В самом деле, если , то на отрезке , где , а интеграл

;

поэтому по признаку Вейерштрасса интеграл (9) равномерно сходится для .

Итак, интеграл (9) есть непрерывная функция на , следовательно на , так как  произвольно.

Если , то интеграл (9) можно дифференцировать под знаком интеграла, т. е.

.                                               (10)

В самом деле, так как , то функция

непрерывна на  и, следовательно, ограничена на . Поэтому для

и интеграл

.

Отсюда по признаку Вейерштрасса интеграл справа в (10) равномерно сходится. Далее функция  непрерывна на , за исключением точек с , поэтому, согласно теореме 2, формула (10) верна.

Интеграл (1) можно рассматривать для неограниченной области  считая, что функция  непрерывна на множестве  точек . Так как область  неограниченна, интеграл (1) как риманов не существует, но он может существовать в несобственном смысле, как предел

,                     (11)

где  - шар с центром в нулевой точке радиуса .

Мы считаем, что

и что существует предел

для всех , т. е. считаем, что интеграл (11) как несобственный существует для всех .

В данном случае говорят, что особой точкой интеграла (11) является бесконечно удаленная точка.

По определению интеграл (11) называется равномерно сходящимся, если , равномерно относительно .

Так же как в случае конечной особой точки, доказывается, что для непрерывной на  функции  интеграл (11), если он равномерно сходится на , есть непрерывная функция от . Далее, если  — ограниченная область с кусочно-гладкой границей, то имеет также место равенство

.

Если  непрерывна на  и интеграл по  от  равномерно сходится по , то (11) можно дифференцировать под знаком интеграла

.

Пример 2. Исследовать интеграл

.

Очевидно, что , а при

.

Таким образом, функция  разрывна на . Это связано с тем, что наш интеграл сходится неравномерно: остаток интеграла

не стремится к нулю при любом фиксированном  и  (он стремится к 1).

Пример 3. Гамма-функция. Интеграл

                                                      (12)

называется гамма-функцией или эйлеровым интегралом второго рода.

При  он имеет особую точку , а при  он имеет две особые точки .

При исследовании этого интеграла удобно разложить его на два интеграла

.

Так как для  имеем  то (как это видно из примера 1) первый интеграл равномерно сходится для всех , каково бы ни было число . Второй интеграл, очевидно, сходится для всякого действительного .

Если  - любое число, то для

,

и так как

,

то по признаку Вейерштрасса второй интеграл равномерно сходится . Однако сходимость этого интеграла при любом  не является равномерной. Например, при  и

при  и любом фиксированном .

При

.

Поэтому при  натуральном

,

откуда видно, что гамма-функцию естественно рассматривать как обобщение факториала.