ГЛАВА 3 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

§3.1. Кусочно-гладкая ориентированная кривая

Кривая

                                                                    (1)

называется непрерывной кусочно-гладкой, если функции  непрерывны на  и отрезок  можно разбить на конечное число частичных отрезков точками

так, что на каждом из них функции  имеют непрерывные производные, одновременно не равные нулю.

На рис. 64 изображена непрерывная кусочно-гладкая кривая. В точках  и  она непрерывна, но производные  все или некоторые терпят разрыв (первого рода!).

Рис.64

Кривую (1) будем обозначать одной буквой, например буквой . Обычно  обозначает не только геометрическое место точек , определяемых уравнением (1), но и порядок следования этих точек, когда  непрерывно возрастает от  до  . В этом смысле говорят, что  есть ориентированная кривая. Порядок следования обозначают на рисунке стрелкой (рис. 64) - когда  непрерывно возрастает от  до , точка  движется по  в направлении стрелки.

Если есть функция, имеющая непрерывную положительную производную на некотором отрезке  и при этом , то уравнение

                                                 (1')

определяет ту же ориентированную кривую, что и . Ее обозначают той же буквой , только говорят в случае уравнения (1), что  определяется параметром , а в случае (1') - параметром . В обоих случаях при возрастании  от  до  или возрастании  от  до  соответствующие точки  движутся в одном и том же направлении.

Другое дело, если совершить замену , где  имеет непрерывную отрицательную производную на отрезке . В этом случае , и при непрерывном возрастании  от  до  параметр  будет убывать и стрелку на нашем геометрическом объекте придется направить в другую сторону.

Поэтому кривую (1') в случае, когда , мы будем обозначать другим символом  и говорить, что  есть та же кривая, кто и , но ориентированная в противоположную сторону. Иногда исходную ориентированную кривую мы будем обозначать символом .

Ориентированная кривая (1) называется замкнутой или замкнутым контуром, если  или, что все равно, если

Иначе говоря; когда значение параметра  непрерывно возрастает от  до , соответствующая точка  проходит в пространстве непрерывный путь, начинающийся и кончающийся в одной и той же точке. Если при этом кривая  в других точках сама себя не пересекает, то она называется замкнутой самонепересекающейся кривой. На рис. 65,а изображена замкнутая самонепересекающаяся кривая, а на рис. 65,б - замкнутая самопересекающаяся кривая.

Рис.65

Замечание. Векторное уравнение (1) кривой  эквивалентно трем уравнениям

.

Пример 1. Пусть кривая  задана уравнением

Так как , то данная кривая есть окружность радиуса  с центром в начале координат. При возрастании  от 0 до  точка  движется по окружности против часовой стрелки. При этом разным  соответствуют разные точки . При  и  имеем . Значит, окружность является замкнутой самонепересекающейся кривой (рис. 66).

Рис. 66                                                        Рис. 67

Пример 2. Кривая

,

 где - положительные числа, называется винтовой линией. Ее можно получить следующим образом. Отрезок длины , перпендикулярный оси , одним концом скользит по оси  и одновременно поворачивается около оси , тогда другой конец отрезка описывает винтовую линию. Мы считаем, что высота подъема отрезка по оси  пропорциональна углу поворота . При возрастании  точка  движется, как указано на рис. 67. Очевидно, что винтовая линия расположена на боковой поверхности кругового цилиндра радиуса , с образующей, параллельной оси .