§4.3. Ряд Фурье
Пусть
задана функция 
периода
и
известно, что ее можно разложить в тригонометрический ряд:
, (1)
т. е. она уже
есть сумма некоторого тригонометрического ряда (вида (1)) для всех 
(или, быть может,
для всех ,
за исключением отдельных значений ). Спрашивается, как определить по
функции коэффициенты
. Этот
вопрос принципиально был решен математиками и физиками в начале прошлого
столетия. Существенный вклад в его решение внес Ж. Фурье. Он показал, что
коэффициенты тригонометрического
ряда, представляющего периодическую периода функцию . вычисляются по формулам
(2)
Числа
и 
вычисляемые по этим
формулам, называют коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд (1), в
который вместо и
подставлены
соответствующие коэффициенты Фурье, называют рядом Фурье функции .
В
некоторых случаях (для более узких классов функций) формулы (2) были известны
еще Эйлеру. Поэтому их называют еще формулами Эйлера—Фурье.
В
§ 4.6 будет дан вывод формул (2) в предположении, что уже известно, что
периодическая периода функция разлагается в тригонометрический ряд,
равномерно сходящийся к ней.
Нужно
сказать, что физики давно считали, что всякое сложное периодическое движение
точки (сложное колебание) - будь то механическое колебание точки звучащей
струны или электромагнитное колебание, или колебание, связанное с
распространением звука - распадается на гармонические колебания, т. е. сложное
периодическое движение надо мыслить как сумму (конечную или бесконечную)
простых гармонических колебаний того же периода. Выделение из сложного
периодического движения, составляющего его гармонического колебания,
соответствующего данной частоте 
, имеет большое практическое значение.
Физики такое выделение из реального движения получают при помощи специальных
приборов — резонаторов. Математик, если ему данное движение задано при помощи
периодической функции 
, получает такое выделение при помощи
вычислений. Он просто вычисляет коэффициенты Фурье этой функции, и тогда
соответствующая -я
гармоника будет иметь вид
.
Отметим,
что если функция имеет
период 
и
интегрируема на отрезке 
или, как говорят, на периоде, то для
нее справедливо равенство
(3)
для любого
действительного числа 
(см. нашу книгу «Высшая математика.
Дифференциальное и интегральное исчисление», § 6.4, пример 8).
Свойство
(3), в частности, показывает, что коэффициенты Фурье периодической функции периода можно записать в
виде
.
,
где - произвольное
действительное число, потому что функции 
и 
периода , а произведение функций периода - в свою очередь
функции периода .
Отметим еще, что если функция 
четная на отрезке 
, то (см. § 6.4, пример 6 той
же книги)
.
Если
же функция нечетная
на отрезке ,
то (см пример 7 § 6.4 той же книги)
.
Функция
четная, а
нечетная.
Кроме того, произведение двух четных и двух нечетных функций есть функция
четная, а произведение четной функции на нечетную есть нечетная функция.
Поэтому для четной периода функции
а для нечетной –
Пример.
Разложить в ряд Фурье функцию (периода 
) 
.
Рис. 116
Данная
функция четная. Тогда ее ряд Фурье состоит только из косинусов 
. Вычислим коэффициенты
:
и
Таким образом,
.
График
суммы этого ряда изображен на рис. 116.
