§ 2.7. Замена переменных. Общий случай
Ограничимся
сначала двумерным случаем. Зададим две функции
, (1)
имеющие
непрерывные производные на замыкании 
ограниченной области с кусочно-гладкой
границей. Будем считать, что преобразование (1) отображает 
на некоторую область 
с кусочно-гладкой
границей взаимно однозначно.
Зададим функцию 
, непрерывную на 
либо ограниченную
на и
непрерывную всюду, исключая отдельные точки и кусочно-гладкие линии.
При этих
условиях формула (5) § 2.6 замены переменных в кратном интеграле сохраняется,
но роль определителя 
теперь уже играет определитель Якоби
. (2)
Определитель 
, о котором шла речь
в § 2.6, тоже можно рассматривать как якобиан линейной системы
.
В трехмерном
случае формула замены переменных в кратном интеграле выглядит следующим
образом:
, (3)
где
, (4)
- непрерывно
дифференцируемые функции на замыкании области с кусочно-гладкой границей и
.
При этом
предполагается, что область отображается на при помощи (4) взаимно
однозначно. По-прежнему предполагается, что непрерывна на или ограничена на и непрерывна на исключая конечное
число точек, кусочно-гладких линий и кусочно-гладких поверхностей.
Рис.41
Рис.42
Рис.
43 Рис. 44
На рис. 41, 42
изображены области и в плоскостях, соответственно 
и 
. Прямоугольная сетка, делящая плоскость
на
квадраты 
со
стороной длины 
,
переходит в криволинейную сетку, делящую на криволинейные параллелограммы 
.
Рассмотрим произвольный квадрат 
(рис. 43). Он
отображается при помощи преобразований (1) на криволинейный параллелограмм (рис. 44). Из
вершины ,
имеющей координаты 
выпущены векторы, касательные к сторонам»
:
( угловой
коэффициент касательной к кривой 
при фиксированном 
равен 
). Эти векторы заменяют
соответствующие «стороны» с точностью до бесконечно порядка (при 
). Параллелограмм 
, построенный на
этих векторах, имеет точно вычисляемую площадь
.
Можно аккуратно
показать, что площадь (двумерная мера) криволинейного параллелограмма имеет вид
,
где величина 
стремится к нулю при 
и притом равномерно
для всех квадратиков . Для каждого квадрата величина зависит от и стремится к нулю . Равномерность
стремления проявляется в том, что для любого 
можно указать такое 
, что
.
Рассмотрим
интегральную сумму функций , соответствующую разбиению , как на рис. 42.
При этом мы берем сумму по «полным» , т.е. таким, которые соответствуют
квадратам ,
полностью принадлежащим к 
. Тогда
Здесь 
- произвольная
точка, принадлежащая к 
, а 
- соответствующая ей при помощи (1)
точка, очевидно, принадлежащая к 
. Знак 
, обозначает, что сумма распространена
на полные квадраты 
. Далее
,
откуда видно,
что
.
Итак, формула
(2) доказана.
