§ 1.8. Уравнения, не разрешенные относительно производной
Чтобы решить
дифференциальное уравнение
, (1)
можно попытаться
сначала решить его относительно 
. Если это удается, то мы получим одно
или много дифференциальных уравнений вида
(2)
Любое решение каждого из уравнений (2) будет решением
уравнения (1). Все же следует попытаться выяснить, исчерпывают ли они все
решения (1).
Например, чтобы
решить уравнение
, (3)
тождественными
преобразованиями его левой части приведем его к виду
. (3')
Рассмотрим два дифференциальных
уравнения первого порядка
.
Общие их
интегралы имеют соответственно вид
, (4)
где 
, и 
- произвольные
постоянные. Для частных значений , и функции (4) суть частные решения уравнения
(3).
Но из указанных
частных решений последних двух уравнений
можно строить и другие частные решения уравнения (3). Например, функция
является решением уравнения (3). Эта
интегральная кривая составлена из двух интегральных кривых, принадлежащих разным семействам (4) (рис. 11). Ниже
рассматриваются два
Рис.11
частных вида дифференциального
уравнения (1), для которых можно указать иные пути их решения.
10.
Левая часть уравнения (1) не содержит 
и 
:
. (5)
Будем считать, что функция 
непрерывна и имеет
конечное число нулей.
Пусть 
есть решение
уравнения, имеющее непрерывную производную.
Тогда 
равняется
одному из корней уравнения (5), которое обозначим через 
. Итак, 
, откуда 
, где 
- постоянная и
. (6)
Обратно, из того, что для непрерывно
дифференцируемой функции 
при некоторой постоянной выполняется
равенство (6), следует, что
,
где - некоторый корень
функции . Но
тогда 
и .
Мы доказали, что общее (любое) решение дифференциального
уравнения (б) определяется равенством (6), где - произвольная постоянная.
20.
Левая часть уравнения (1) не содержит :
. (7)
Если уравнение
(7) можно разрешить относительно , то
-
уравнение с разделяющимися переменными, которое решать мы умеем.
Допустим, что уравнение (7) нельзя или трудно
решить относительно , но легко можно решить относительно : 
.
Введем в
рассмотрение параметр 
, тогда
,
откуда
,
или
.
Теперь, исключая
из системы
(8)
параметр 
, мы и получим общий
интеграл 
дифференциального
уравнения (7).
Систему (8)
можно также рассматривать как параметрическое
задание решения уравнения (7). Параметр можно вводить и произвольным
образом 
,
но так, чтобы уравнение (7) проще решалось
относительно 
,
и чтобы проще находился соответствующий интеграл для определения функции
.
Пример. Решить
уравнение 
.
Если ввести
параметр 
,
то получаются довольно сложные интегралы. Здесь лучше положить 
. Тогда
Из системы
получаем
, (4)
т. е. любое
решение нашего дифференциального уравнения
есть решение уравнения (4) при некоторой постоянной .
Это семейство окружностей радиуса 2 с центром в точках 
(рис. 12). Можно
доказать, что равенство (4) есть общий интеграл для решений вида и вида 
.
Рис.
12
В данном случае можно также параметр
ввести по формуле
Замечание.
Аналогичным образом рассматривается дифференциальное уравнение вида 
.
