1.2.2. Дифференциальное уравнение первого порядка.

Мы начнем с изучения дифференциального уравнения первого порядка

.                                       (2)

Как правило, мы будем предполагать, что функция  задана на некоторой области трехмерного пространства  и непрерывна на  вместе со своими частными производными  и . В частности,  может быть всем трехмерным пространством точек .

Напомним, что решением или частным решением дифференциального уравнения (2) мы называем любую действительную непрерывно дифференцируемую функцию , заданную на некотором интервале , которая удовлетворяет этому уравнению:

.

При этом каждое решение имеет, вообще говоря, свой интервал, где оно задано.

Два алгебраических уравнения

                                            (3)

называются эквивалентными на области  точек , если из того, что точка  удовлетворяет одному из этих уравнений, следует, что она удовлетворяет и другому.

Соответственна два дифференциальных уравнения

называются эквивалентными на , если эквивалентны на  алгебраические уравнения (3).

Таким образом, в этом случае решение , одного из дифференциальных уравнений автоматически есть решение другого.

Впрочем, эквивалентные на области  дифференциальные уравнения считаются за одно и то же уравнение.

При преобразовании дифференциального уравнения надо следить, чтобы получаемое после преобразования новое дифференциальное уравнение было эквивалентным (на ) прежнему. Или уж, во всяком случае, надо замечать, какие из решений могут исчезнуть или прибавиться после преобразования.