§4.4. Признаки сходимости рядов Фурье

Чтобы упростить записи, будем рассматривать функции периода . Для функций периода , где  - произвольное положительное число, рассуждения аналогичны.

Как мы знаем, рядом Фурье функции  периода  называется тригонометрический ряд

,                                               (1)

коэффициенты, которого вычисляются по формулам

                             (2)

Мы видим, что для того, чтобы ряд Фурье функции  периода  имел смысл, во всяком случае, должны иметь смысл интегралы (2).

В наших рассуждениях интегралы (2) всегда будут иметь смысл, потому что мы будем говорить о непрерывных или кусочно-непрерывных на периоде ограниченных функциях.

Поставим вопрос, каким условиям должна удовлетворять функция , чтобы ее ряд Фурье сходился к ней. Этим вопросом математики занимались много. Мы ограничимся тем, что сформулируем несколько важных с практической точки зрения достаточных признаков сходимости рядов Фурье, не доказывая их.

Если функция  периода  непрерывна на всей действительной оси и имеет кусочно-непрерывную производную на периоде, то ее ряд Фурье равномерно сходится к ней:

.

Пример 1. Функция  периода , четная и определяемая на отрезке  равенством

,

удовлетворяет, очевидно, сформулированному признаку (см. график этой функции на рис. 117). Ее коэффициенты Фурье , а коэффициенты

Рис. 117

Таким образом,

Но тогда, согласно указанному признаку,

;

при этом сходимость ряда равномерная.

Тот факт, что этот ряд сходится равномерно, следует и из общей теории рядов (по критерию Вейерштрасса). Но не тривиально, что он сходится именно к функции .

Отметим еще, что данная периодическая функция  совпадает с функцией  только на отрезке , а вне отрезка  эти две функции различны.

Сформулируем еще признак сходимости ряда Фурье, называемый признаком Дирихле.

Говорят, что функция  периода  удовлетворяет условию Дирихле, если на отрезке  можно указать конечное число точек  таких, что на интервалах  функция ограничена, непрерывна и монотонна (не убывает или не возрастает), а в точках  разрыва

,

т. е. значение  в  есть среднее арифметическое правого и левого пределов  в .

Если функция  периода  удовлетворяет условию Дирихле, то ее ряд Фурье сходится к ней для любого :

.

Пример 2. Функция  периода , определяемая равенством

как это видно из ее графика (рис. 118), удовлетворяет условию Дирихле. Ведь точки  обладают свойством: функция  убывает, непрерывна и ограничена на интервале  и

Рис. 118

Рис. 119

Функция  нечетная, поэтому ее ряд Фурье состоит только из синусов; следовательно, коэффициенты Фурье для нее

Итак,

.

Задача. Разложить в ряд Фурье функцию периода , определенную на  равенством (рис. 119)

Ответ. .