§ 1.23. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система уравнений

                                     (1)

или

,

где - заданная непрерывная на  вектор-функция,  - заданные постоянные числа и , называется неоднородной системой дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение системы (1) равно сумме

                                   (2)

какого-либо ее частного решения  и общего решения  соответствующей однородной системы

.                                  (3)

В самом деле, сумма (2) при любых постоянных  есть, очевидно, решение системы (1):

.

А с другой стороны, если  есть решение системы (1), то

,

но тогда для некоторых постоянных

.

Если известно общее решение однородной системы (3), то частное решение неоднородной системы (1) можно находить методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Пусть

- общее решение системы (3), т.е.  - линейно независимые частные решения (3):

.

Будем считать  функциями от  и подберем их так, чтобы функция

                            (4)

была частным решением неоднородной системы (1). Дифференцируя, имеем

.

Подставляя значения  и  в (1’), получаем

,

или

.

Так, как , то для определения  мы получаем систему

                             (5)

с непрерывными на  вектор-функциями  и .

Система (5) является линейной относительно  с определителем, равным определителю Вронского системы векторов . Так как этот определитель не равен нулю, то система (5) имеет единственное решение: . Функции  непрерывны, потому что непрерывны вектор-функции  и .

Интегрируя, находим

.

Подставляя эти значения в (4), получаем частное решение системы (1).

Пример 1. Решить систему

Легко проверить, что

является общим решением однородной системы. Найдем частное решение неоднородной системы методом Лагранжа. Будем считать  функциями от .

Тогда

Подставляя эти значения производных и сами функции в нашу систему, получаем

Определитель данной системы есть определитель Вронского

.

Поэтому система разрешима:

.

Интегрируя, получаем

.

Таким образом, частное решение имеет вид

.

Общее решение можно записать в форме

.

В векторной (матричной) форме это выглядит так:

.

Ниже на примерах будет показано, как можно найти частное решение системы (1), когда , где  - заданные постоянные числа.

Частное решение линейной неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда правые части  имеют специальный вид (или ), можно находить по аналогии с решением неоднородного дифференциального уравнения.

Пример 2. Решить систему

Сначала решаем однородную систему. Характеристическое уравнение

имеет корни . Значит, общее решение однородной системы запишется в виде

.

Свободным членам системы  соответствуют числа 1 и 3. Число 1 не есть корень характеристического уравнения, а 3 есть его корень первой кратности. По аналогии, как для одного уравнения, полагаем

Подставляя эти функции в нашу систему, находим

Общее решение неоднородной системы запишется:

,

.