§ 6.12. Классификация особых точек на бесконечности

Предположим теперь, что в теореме 1 § 6.10  и , а  - любое неотрицательное число . Тогда теорема 1 гласит: если функция  аналитическая для всех комплексных чисел , удовлетворяющих неравенству

,

то ее можно разложить в ряд Лорана по степеням :

     ,                     (2)

сходящийся для всех  с . Здесь

,         .                   (3)

Множество (1) называют внешностью круга . Удобно считать, что это множество есть окрестность бесконечно удаленной точки (точки ).

Таким образом, мы формально добавляем к множеству комплексных точек (чисел) еще абстрактную бесконечно удаленную точку ().

Функция  аналитична в окрестности точки , исключая саму точку , которую естественно в данном случае называть изолированной особой точкой функции .

В зависимости от поведения функции  в окрестности точки  естественно ввести следующую классификацию:

а) Особенность в точке  устранимая, если

 ,

т. е. если

 .

В этом случае

.

Очевидно также

.

где  - произвольный контур, ориентированный по часовой стрелке, содержащий внутри себя окружность  (рис. 147). При известном воображении можно считать, что точка  находится внутри контура , - если двигаться по контуру  по часовой стрелке, то точка  остается слева.

Рис. 147

б) Точка  есть полюс порядка , если

         .

В этом случае, очевидно, . Далее

,

потому что

           .

в) Точка  есть существенно особая точка, если

                     (4)

и имеется бесконечное множество чисел , не равных нулю.

Функция  стремится к конечному пределу при  в то время как функция  на основании теоремы Сохоцкого, не стремится ни к какому пределу при . Поэтому и функция  не стремится к пределу при .

Далее

.

Почленное интегрирование здесь законно, потому что, как мы знаем, интегралы  можно заменить на интегралы  по окружности радиуса , на которой ряд (4) равномерно сходится.

Введем определение.

Вычетом функции  в бесконечно удаленной точке называется

,

где  есть произвольный замкнутый контур, ориентированный по часовой стрелке, принадлежащий к множеству  (где функция  аналитична!). В данном случае говорят, что при движении по контуру по часовой стрелке «точка  остается слева».

На основании сказанного (см. а), б), в)), если

       ,

ряд Лорана функции  во внешности окружности , то

.

Если  - устранимая особая точка, то в ряде Лорана функции  отсутствуют положительные степени , а  может присутствовать, поэтому  в этом случае не обязательно равен нулю.

Пример. Функция

имеет устранимую особенность в точке  и , значит,

.