§ 6.5. Обратная функция

Пусть задана аналитическая функция

 ,                 (1)

отображающая область  плоскости  на область  плоскости  взаимно однозначно (или одно-однозначно). Это значит, что каждому  соответствует при помощи функции (1) одно значение  при этом каждое  в силу этого закона соответствует только одному значению . Этим определена на  однозначная функция

                   (2)

обладающая тем свойством, что

 .

Имеет место, очевидно, и другое равенство

.

Функция  называются обратной функцией к функции  .

Покажем, что если

 ,

то функция  есть аналитическая функция на .

В самом деле, пусть точки . Этим точкам соответствуют при помощи обратной функции точки . Так как по условию функция  имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке: , если . В силу указанной взаимной однозначности верно и обратное, как это можно доказать, но мы доказательство опускаем, , если . Но тогда

  .

Это показывает, что производная от обратной функции  существует в точке  и равна

 .                     (3)

Так как  - производная точка , то функция  аналитическая на .

Пример. Функция

при  отображает всю плоскость  на всю плоскость  взаимно однозначно. При этом обратная функция имеет вид

.

Непосредственно видно, что обе эти функции аналитичны соответственно на плоскостях  и  .

Функция  ( - натуральное). Плоскость точек  разрежем на  секторов лучами

  ,

выходящими из нулевой точки (см. рис. 135, где ). Пусть  есть сектор

 ,                      (4)

точнее, множество точек , , имеющих аргумент , удовлетворяющий неравенствам (4). Очевидно,  есть область. Обозначим также через  множество, получаемое добавлением к  луча  (вместе с нулевой точкой). Точки  можно записать в виде

  .

Положим еще

.

Если , то  и обратно.

Функция  отображает  взаимно однозначно и непрерывно на всю плоскость

  ,

которую обозначим через .

Рис. 135

В самом деле,

,

поэтому

,   ,

откуда

, ,

где  есть арифметическое значение корня -й степени из , т. е. неотрицательное число, -я степень которого равна . Из сказанного следует, что функция  на множестве  имеет обратную функцию

.      (5)

Вообще же функция  имеет обратную -значную функцию

,

имеющую  непрерывных ветвей (5), соответствующих числам . Ветви (5), определяемые числами , отображают  соответственно на .

Чтобы вычислить производную от -й ветви, нам придется рассмотреть область . Обозначим через  пространство  без луча .

Аналитическая функция  отображает взаимно однозначно  на . При этом соответствующая обратная функция определяется по формулам (5). В силу (3) производная от нее равна

.

Рассматривая области  вместо множеств , мы исключаем из рассмотрения лучи  плоскости . Если бы нас интересовало поведение функции  в окрестности этих лучей, то следовало бы плоскость  разрезать лучами

и считать, что ,  суть множества точек , определяемых соответственно неравенствами

.

Функции , . Функция

аналитическая на плоскости  точек . Она не равна нулю для всех . Это видно из того, что

 и .

Обозначим через  плоскость точек , через  - эту плоскость с выкинутой из нее точкой  и через  - эту плоскость с выкинутым из нее положительным лучом оси .

Из дальнейшего мы увидим, что образ  при помощи функции  есть область . Однако отображение  на  не взаимно однозначно - обратная функция к функции , называемая натуральным логарифмом  и обозначаемая через

 ,

бесконечнозначна. Ниже мы определяем эту функцию.

Для этого разрежем  на полосы прямыми (рис. 136)

 .

Открытую полосу  обозначим через  и полузамкнутую полосу  - через .

Рис. 136

Замена переменной  на  при помощи равенства

преобразовывает полосу  точек  на полосу  точек  взаимно однозначно.

Рассмотрим функцию  на множестве . Полагая , , , будем иметь

  ,

откуда

, .

Таким образом,

,

  .

Следовательно, функция  имеет на полосе  обратную однозначную функцию

                  (6)

.

Вообще же функция  имеет обратную бесконеч нозначную функцию

 ,

имеющую бесконечное число непрерывных ветвей (6), соответствующих числам .

Область  преобразуется при помощи аналитической функции  на область  плоскости  взаимно однозначно. Обратная к ней однозначная функция, определяемая для данного  равенством (6), аналитическая на . Ее производную лучше всего вычислить с помощью формулы (3):

    .        (7)

Подчеркнем, что мы здесь вычислили производную не от многозначной функции , а от ее определенной однозначной ветви, соответствующей некоторому .

Тот факт, что производная оказалась равной функции , не зависящей от , объясняется тем, что разные ветви (6) отличаются на постоянную.

При вычислении производной от  мы считали, что точки  принадлежат к областям , исключив из рассмотрения прямые  плоскости .

Если бы мы интересовались поведением рассмотренных функций на прямых , то тогда следовало бы разрезать плоскость  сдвинутыми прямыми

      , , ,

считая таким образом, что  есть область точек , для которых .

Степенная функция  ( - действительное число) определяется по формуле

                    (8)

или

               (8')

где

.

Если  - целое, то

И

,

где  понимается в обычном смысле как произведение  множителей .

Если , где , , - целые, то числа справа в (8') существенно различны лишь при :

 .

В частности, при  и  натуральном мы получили уже эти факты (см. (5)).

Если же  - иррациональное число, то функции, определяемые формулой (8) или (8') для разных , различны. Это непрерывные ветви многозначной (бесконечнозначной) функции .

Имеем далее ()

,

т. е. равенство

,                      (9)

верное для любой ветки . При этом, с каким  взята ветвь  в левой части (9), с таким же  надо взять ветвь  в правой части.

Замечание. Обратные функции для тригонометрических и гиперболических функций можно ввести аналогичным образом.

Например, функция  является обратной к функции , т. е. .

Из уравнения

находим

, ,

т. е.

.

Таким образом,- бесконечнозначная функция .

Аналогично можно получить

,

,

,

.