§ 4.17. Полнота систем функций в С и L2’

Систему непрерывных на отрезке  функций

                             (1)

называют полной в пространстве  непрерывных функций, если для любой функции  и любого  найдется конечная линейная комбинация из этих функций

                                                       (2)

такая, что для всех  выполняется неравенство

.                            (3)

Говорят еще, что система (1) полна в пространстве , если для любой функции  и любого  найдется линейная комбинация (2) такая, что

.                            (4)

Если система (1) полна в , то она полна также в .

В самом деле, пусть ). Зададим  и подберем непрерывную функцию  (см. ниже пример) так, чтобы

.

А для последней подберем сумму (2), чтобы выполнялось неравенство (3). Тогда

 где правая часть может быть взята как угодно малой.

В § 4.9 мы рассматривали произвольную ортонормальную на отрезке  систему функций  и называли ее полной в , если ряд Фурье любой функции по этой системе сходится к  в смысле среднего квадратического.

Таким образом, в случае ортонормированной системы

                                       (5)

мы имеем два определения полноты в . Они эквивалентны. В самом деле, пусть ортонормированная система (5) в  в смысле § 4.9, и пусть .

Тогда

,

и при достаточно большом  и  получим неравенство (4). А это доказывает, что система (5) полна в смысле второго определения.

Обратно, если система (5) полна в смысле второго определения и задана функция , то для всякого  найдется линейная комбинация , такая, что (пояснения ниже)

для любого , второе и третье неравенство этой цепи следует из теоремы в § 4.9 получим, что ряд Фурье функции  по системе (5) сходится к ней в смысле среднего квадратического.

Пример. На рис. 121, а изображена функция , разрывная в точке , а на рис. 121, б она видоизменена в -окрестности , так что получилась непрерывная функция . Для любого  можно указать  так, что

.

Рис. 121 а                                                                              Рис. 121 б

В § 4.9 было сформулировано без доказательства важное утверждение о том, что ряд Фурье функции  по тригонометрической системе сходится к  в смысле среднего квадратического. После того как мы доказали теорему Вейерштрасса (см. § 4.16), это утверждение можно полностью обосновать.

В самом деле, мы уже пользовались теоремой 1 § 4.9, утверждающей справедливость равенства

,

где  - коэффициенты Фурье функции  по ортонормированной системе . Отметим, что это равенство имеет место и для произвольной ортогональной, не обязательно нормальной системы. В этом случае коэффициенты Фурье

.

Тригонометрическая система

ортогональна на отрезке .

Теорема Вейерштрасса выражает тот факт, что эта система полна в , но тогда, как мы знаем, она полна в .

А это и означает, что ряд Фурье по тригонометрической системе любой функции  сходится к ней в смысле среднего квадратического.