§ 6.14. Вычисление интегралов при помощи вычетов
Пусть функция 
аналитична в верхней полуплоскости,
включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек 
, лежащих в верхней
полуплоскости. При этих условиях мы рассмотрим способы вычисления интегралов
,
.
Теорема 1. Пусть функция удовлетворяет
перечисленным выше условиям и, кроме того, 
при 
, где 
и 
- достаточно
большое число. Тогда
. (1)
Доказательство. Опишем
полуокружность 
(ориентированную
против часовой стрелки) радиуса с центром в точке 
так, чтобы все особые точки
функции попали
внутрь (рис.
149). В силу теоремы 1 § 6.13
. (2)
Рис. 149
Так как при , то
,
.
Переходя к пределу в равенстве
(2) при ,
получим (1).
Пример 1. Вычислить интеграл 
.
Функция 
аналитична в верхней
полуплоскости, за исключением точек
,
,
в
которых она имеет простые полюсы. Кроме того, 
(
). Найдем вычеты функции в точках 
. По формуле (16) §
6.11
,
где
. Имеем 
, 
, 
. Отсюда
,
.
По формуле (1) получаем
.
Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет условиям,
отмеченным в начале параграфа и 
равномерно относительно 
. Тогда
. (3)
Доказательство. Так же как при
доказательстве теоремы 1, имеем
(4)
(функция
имеет те
же особенности, что и ).
Нам нужно доказать, что при интеграл 
стремится к нулю.
Имеем
.
В силу условия теоремы 
при 
для всех 
(
) и достаточно
большого 
.
Поэтому (
при 
)
.
Переходя к пределу в (4), при получаем (3).
Если функция имеет особенности на
действительной оси, то специальным построением контура интегрирования можно
вычислить соответствующие интегралы, если они существуют.
П р и м е р 2. Пусть 
. Эта функция имеет
простой полюс на действительной оси
в
точке 
.
Далее, равномерно
относительно .
Построим контур интегрирования,
как на рис. 150. Обход контура осуществляется по стрелкам, указанным на этом
рисунке. В заштрихованной части функция 
аналитическая при любом и любом 
, поэтому по
теореме Коши (полуокружность 
ориентирована против часовой стрелки)
. (5)
Рис. 150
Как и выше, легко показать, что 
.
Далее
.
Таким образом, равенство (5) в
пределе, при и
,
принимает вид
,
т.
e.
.
Так как функция 
четная, то
.
Замечание. Если под знаком
интеграла есть сомножитель 
или 
, то часто удобно рассматривать интеграл
от функции, где или
заменены
на 
. Это
объясняется тем, что 
и 
неограниченно возрастают при 
, а 
при 
(
). Поэтому поведение
функции 
будет
другое, чем у функции . Затем, получив значение интеграла , выделяя
действительную и мнимую части, мы найдем 
и 
.
Пример 3. Вычислить интеграл
.
Рассмотрим функцию 
. Эта функция
аналитична в верхней полуплоскости, кроме точки 
. Функция 
при равномерно относительно . Поэтому по
теореме 2
.
Выделяя действительную часть,
получим
,
.
Пример 4. Вычислить интеграл
.
Имеем
.
Итак,
.
Пример 5.
.
Пример 6. Вычислить интегралы
Френеля
,
.
Рассмотрим функцию 
. Эта функция в
заштрихованной области (рис. 151) аналитическая, поэтому по теореме Коши
,
где
- часть
окружности 
,
-
отрезок прямой 
,
(ориентированные
по стрелкам).
Рис. 151
Далее
;
,
.
Итак, в пределе при получаем (см.
пример 3 §2.13)
.
Выделяя действительную и мнимую части, получаем
,
,
т. е.
.
