1.2.5. Общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка.

Дадим определение общего интеграла дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть задано дифференциальное уравнение первого порядка

,                                                                               (2)

где функция и ее частные производные  и  непрерывны на области  точек  трехмерного пространства.

Общим интегралом дифференциального уравнения (2) называется равенство

,                                                                               (9)

где функция  непрерывно дифференцируема на некоторой области точек  и обладает следующим свойством: если продифференцировать равенство (9) по , считая формально, что :

,                                                                        (10)

и исключить  из уравнений (9) и (10), то получим дифференциальное уравнение, эквивалентное уравнению (2).

Называют еще уравнение (2) дифференциальным уравнением семейства функций (9), зависящих от параметра .

Пример 3. Рассмотрим семейство функций.

,                                              (11)

зависящих от произвольного параметра .

Продифференцируем (11) по :

                                          (12)

и возведем полученное равенство в куб:

.                                                             (13)

Легко видеть, что мы получили дифференциальное уравнение, эквивалентное уравнению (12). Но тогда из (11) и (13) следует дифференциальное уравнение

                                                                    (14)

Легко проверить, что любая функция (11) удовлетворяет этому уравнению. Впрочем, этот факт уже следует из того, что дифференциальное уравнение (14) есть результат исключения параметра  из равенств (11) и (13).

Мы доказали, что равенство (11), содержащее произвольный параметр , есть общий интеграл дифференциального уравнения (14).

В дальнейшем мы будем изучать некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка и будем указывать методы их решения, которые приведут к семействам решений, зависящих от одного параметра . Обычно эти семейства и будут общими интегралами соответствующих дифференциальных уравнений.

Возникает вопрос, содержит ли общий интеграл данного дифференциального уравнения первого порядка при любых значениях параметра  все решения этого уравнения. Вообще говоря, это не так. Но это заведомо имеет место, если общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка можно записать в разрешенном относительно  виде

,                                                                           (15)

и при этом левая часть уравнения (15) есть непрерывно дифференцируемая функция. Именно, справедлива теорема.

Теорема 1. Пусть задано дифференциальное уравнение

,                                          (2')

где функция  вместе с ее частными производными ,  непрерывна на области  пространства , и пусть равенство (15) есть его общий интеграл, где  - непрерывно дифференцируемая на некоторой области плоскости  функция.

Тогда, если

,

есть непрерывно дифференцируемое на  решение уравнения (15) при некотором значении , то оно обязательно есть решение дифференциального уравнения (2') и обратно, всякое решение дифференциального уравнения (2') удовлетворяет уравнению (15) на интервале, где оно задано, при некоторой постоянной .

Доказательство. Пусть , есть непрерывно дифференцируемое решение уравнения (15) при постоянной :

.

Продифференцируем это тождество по :

.                                (16)

Это показывает, что функция  есть решение дифференциального уравнения

,                                                              (17)

а следовательно, и решение дифференциального уравнения (2'), которое эквивалентно на  уравнению (17) (согласно определению общего интеграла).

Обратно, пусть , есть решение дифференциального уравнения (2'), следовательно, и уравнения (17), т. е. пусть выполняется тождество (16), которое можно записать так:

.

Интегрируя его от  до , где , получим

т. е. функция  удовлетворяет на  уравнению .

Замечание к примеру 2. Общий интеграл дифференциального уравнения

                                                   (6')

в разрешенной относительно  форме (см. (7)) имеет вид

                                           (18)

Так как левая часть этого уравнения имеет непрерывные частные производные на всей плоскости , то на основании теоремы 1 общий интеграл (18) содержит при различных постоянных  все решения дифференциального уравнения (6').

Чтобы решить задачу Коши для дифференциального уравнения (6') при начальном условии , подставляем  в (18) и находим :

Решение задачи Коши имеет вид

или

.

Замечание к примеру 3. Дифференциальное уравнение в этом примере можно записать в виде

,                                                   (19)

где функция

непрерывно  дифференцируемая на  всем  пространстве , которое обозначим через .

Мы знаем уже, что общий интеграл этого уравнения имеет вид

   .                                        (11)

Если решить уравнение (11) относительно , то получим

.                                                          (11')

Частная производная по  от функции  не существует на оси , поэтому условие теоремы 1 не выполняется. Но тогда нельзя гарантировать, что любое решение дифференциального уравнения (19) входит в его общий интеграл при некотором .

На рис. 2 изображено семейство кубических парабол (11) для различных значений . Каждая из этих парабол есть интегральная кривая дифференциального уравнения (19). Но имеются еще и другие интегральные кривые, например кривая, изображенная на рис. 2 жирной линией:

Итак, дифференциальное уравнение (19) имеет определенный на всей плоскости  общий интеграл (11), но он не содержит в себе при различных значениях  все решения этого уравнения. Имеется бесконечное множество решений, соответствующих парам чисел , где , которые не получаются из семейства (11) при некотором значении

Рис.2

Однако если дифференциальное уравнение (19) рассматривать для положительных , т. е. считать, что функция  задана на полупространстве , которое мы обозначим , то общий интеграл

определяется функцией , непрерывно дифференцируемой на . Поэтому в данном случае применима теорема 1, и общий интеграл содержит в себе при различных  все решения дифференциального уравнения, принадлежащие к верхней полуплоскости

.

Подобный факт имеет место и для области  точек , где .