1.13. Дифференциальное уравнение n-го порядка

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ

ZADANIA.TO

§ 1.13. Дифференциальное уравнение n-го порядка

Уравнение

(1)

называется дифференциальным уравнением -го порядка.

Здесь - функция, непрерывная вместе со своими частными производными на некоторой области точек -мерного пространства.

Разрешая уравнение (1) относительно получаем

. (2)

Справедлива

Теорема 1 (существования). Пусть правая часть уравнения (2), рассматриваемая как функция переменных, непрерывна и имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные .

Тогда существует интервал и определенная на нем раз непрерывно дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению (2) и начальным условиям

. (3)

Функция , обладающая указанными свойствами, единственна.

Таким образом, есть решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям (3).

Если зафиксировать , то каждой системе чисел

обладающих свойством

будет соответствовать решение нашего дифференциального уравнения, которое (при фиксированном ) можно записать в виде

. (4)

В результате получаем семейство решений нашего дифференциального уравнения, зависящих от параметров . Каждой определенной системе параметров () соответствует свое решение дифференциального уравнения (со своим интервалом определения).

Можно в уравнении (2) ввести новые функции

Все они во всяком случае имеют непрерывную первую производную. Тогда уравнение (2) окажется эквивалентным следующей системе из дифференциальных уравнений первого порядка:

(5)

Система (5) есть частный случай системы

(6)

из дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций .

Это нормальная система (разрешенная относительно производных ). Она есть частный случай системы

. (7)

Справедлива

Теорема 2 (существования). Пусть функции непрерывны, имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным, начиная со второй, в некоторой области точек , и пусть задана определенная точка этой области.

Тогда существует интервал и определенные на нем непрерывно дифференцируемые (единственные) функции , удовлетворяющие системе (6) и начальным условиям

. (8)

Если функции на непрерывно дифференцируемы раз, то соответственно и решения системы обладают лучшими свойствами - они имеют непрерывную производную порядка .

Если зафиксировать , то каждой системе чисел

соответствует решение системы (6), которое можно записать (при фиксированном ) в виде

, (9)

где — произвольные постоянные - параметры.

Выше было отмечено, что решение уравнения -го порядка может быть сведено к решению системы из дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными функциями. Но верно и обратное утверждение: решение системы (6) при определенных условиях может быть сведено к решению некоторого дифференциального уравнения -го порядка с одной неизвестной функцией.

Доказательство этого обратного утверждения представляет собой развитие соответствующего утверждения в случае (см. § 1.12).