§ 105. Цикл Карно

Из сказанного в предыдущем параграфе следует, что для работы теплового двигателя необходимо наличие двух тепловых резервуаров. От одного из них, имеющего более высокую температуру и называемого нагревателем, двигатель получает в ходе цикла количество тепла второму, имеющему более низкую температуру и называемому холодильником, двигатель отдает тепло

Допустим, что теплоемкость резервуаров бесконечно велика. Это означает, что получение или отдача резервуарами конечного количества тепла не изменяет их температуры.

Рис. 105.1.

Рис. 105.2.

Выясним, какой обратимый цикл может совершать рабочее вещество двигателя в этих условиях. Для краткости рабочее вещество двигателя мы будем называть просто телом.

Рассматриваемый цикл, очевидно, может состоять как из процессов, в ходе которых тело обменивается теплом с резервуарами, так и из процессов, не сопровождающихся теплообменом с внешней средой, т. е. адиабатических процессов. В предыдущем параграфе мы установили, что единственным обратимым процессом, сопровождающимся теплообменом с резервуаром, температура которого остается неизменной, является изотермический процесс, протекающий при температуре резервуара.

Таким образом, мы приходим к выводу, что обратимый цикл, совершаемый телом, вступающим в теплообмен с двумя тепловыми резервуарами бесконечно большой емкости, может СОСТОЯТЬ только их двух изотерм (при температурах резервуаров) и двух адиабат.

Такой цикл был впервые введен в рассмотрение французским инженером Сади Карно и носит название цикла Карно. Отметим, что цикл Карно по определению обратимый.

При адиабатическом процессе Поэтому согласно формуле (103.20) при обратимом адиабатическом процессе и, следовательно, энтропия остается постоянной. На этом основании обратимый адиабатический процесс называется изэнтропическим. Воспользовавшись этим термином, можно сказать, что цикл Карно состоит из двух изотерм и двух иззнтроп. На диаграмме Т, S этот цикл выглядит так, как показано на рис. 105.1. Заметим, что вид цикла Карно на диаграмме Т, S не зависит от свойств тела (или системы тел), для которых он изображен.

На рис, 105.2 изображен некоторый процесс, переводящий систему из состояния 1 в состояние 2. Согласно (103.20) элементарное количество тепла полученное системой, может быть представлено в виде Следовательно, площадь заштрихованной полоски на рис. 105.2 равна а площадь фигуры, ограниченной кривой 1—2, дает количество тепла, получаемого системой в ходе процесса. Аналогично площадь фигуры, ограниченной кривой, изображающей процесс на диаграмме p, V, дает работу, совершаемую системой в ходе процесса (см. рис. 84.3).

В соответствии со сказанным площадь цикла на рис. 105.1 дает количество тепла, получаемого системой в ходе цикла (оно равно Аналогично площадь цикла на диаграмме р, V дает работу, совершаемую системой за цикл (см. рис. 84.4).

Количество тепла, получаемого системой в ходе произвольного обратимого процесса, можно вычислить по формуле

(105.1)

Найдем к. п. д. цикла Карно. Совершив цикл, система возвращается в исходное состояние. Следовательно, полное изменение энтропии за цикл равно нулю. На участке 1—2 (см. рис. 105.1) система получает от резервуара с температурой количество тепла Приращение энтропии на этом участке равно

На участке 3—4 система отдает резервуару с температурой количество тепла Отнятие у тела тепла эквивалентно сообщению телу тепла

Поэтому приращение энтропии на участке 3—4 равно

На участках 2—3 и 4—1 энтропия постоянна. Таким образом, полное приращение энтропии за цикл равно

(105.2)

Из (105.2) следует, что

Выражение (104.5) для к. п. д. тепловой машины можно представить в виде

Заменив в этом выражении отношение в соответствии с (105.3), получим, что

(105.5)

При выводе формулы (105.5) мы не делали никаких предположений о свойствах рабочего вещества и устройстве тепловой машины. Следовательно, мы приходим к утверждению, что коэффициент полезного действия всех обратимых машин, работающих в идентичных условиях (т. е. при одной и той же температуре нагревателя и холодильника), одинаков и определяется только температурами нагревателя и холодильника. Это утверждение носит название теоремы Карно.

Рассмотрим необратимую машину, работающую с теми же нагревателем и холодильником, что и обратимая машина, работающая по циклу Карно. Пусть по завершении цикла машина возвращается в исходное состояние, которое мы будем считать равновесным. Так как энтропия является функцией состояния, ее приращение за цикл должно равняться нулю:

Поскольку процессы, из которых состоит цикл, необратимы, для каждого элементарного процесса имеет место неравенство (см. (103.21)). Следовательно, из условия равенства нулю полного приращения энтропии за цикл вытекает, что

откуда

Разобьем последний интеграл на четыре слагаемых:

Первое слагаемое отвечает процессу получения от резервуара с температурой количества тепла (это количество тепла не обязательно совпадает с количеством тепла которое получает за цикл обратимая машина). Второе слагаемое отвечает первому адиабатическому участку цикла. Третье слагаемое отвечает процессу передачи резервуару с температурой количества тепла (это количество тепла не обязательно совпадает с количеством тепла которое отдает за цикл обратимая машина). Наконец, четвертое слагаемое отвечает второму адиабатическому участку цикла. На адиабатических участках поэтому соответствующие интегралы равны нулю. Интеграл, отвечающий участку равен (напомним, что в случае необратимого процесса в знаменателе отношения стоит температура резервуара, от которого данное тело получает тепло ). Интеграл, отвечающий участку равен Таким образом, мы приходим к неравенству

(105.6)

Из (105.6) получаем, что

и, следовательно,

Полученный результат означает, что к. п. д. необратимой машины всегда меньше, чем обратимой, работающей в тех же условиях.

Вид цикла Карно на диаграмме p, V зависит от свойств совершающего цикл вещества. Для идеального газа цикл выглядит так, как показано на рис. 105.3.

Рис. 105.3.

Коэффициент полезного действия цикла Карно для идеального газа можно вычислить, не прибегая к нахождению приращения энтропии.

При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа остается постоянной. Поэтому количество полученного газом тепла равно работе совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2 (рис. 105.3). Эта работа согласно (90.8) равна

(105.8)

где — масса идеального газа в машине. Количество отдаваемого холодильнику тепла равно работе затрачиваемой на сжатие газа при переводе его из состояния 3 в состояние 4. Эта работа равна

(105.9)

Для того чтобы цикл был замкнутым, состояния 1 и 4 должны лежать на одной и той же адиабате. Отсюда вытекает условие

(105.10)

(см. уравнение адиабаты (88.4)). Аналогично, поскольку состояния 2 и 3 лежат на одной и той же адиабате, выполняется условие

(105.11)

Деля (105.11) на (105.10), приходим к условию замкнутости цикла:

Теперь подставим (105.8) и (105.9) в выражение (104.5) для к. п. д.:

Наконец, учтя условие (105.12), получим выражение

которое совпадает с (105.5).