§ 6. Квантовомеханическое рассмотрение движения магнитного момента во вращающемся магнитном поле

Применим теперь экспоненциальные операторы для выполнения квантовомеханического преобразования, аналогичного классическому переходу к вращающейся системе координат. Наряду с постоянным полем будем рассматривать магнитное поле вращающееся с угловой скоростью Тогда полное магнитное поле

а уравнение Шредингера имеет вид

С учетом соотношений (2.55) гамильтониан уравнення (2.57) можно записать в виде

Попытаемся «отделить» оператор от и перенести его действие на т. е. предпримем шагн, противоположные тем, которые выполнены в (2.50). Для этого положим

или

Физический смысл соотношений (2.59) состоит в том, что функции переходят друг в друга при повороте осей координат на угол (преобразование поворота осей координат).

Тогда

Подставляя (2.59) и (2.60) в (2.57) и умножая обе части равенства слева на оператор получаем

В уравнении (2.61) не зависит от времени. Это обстоятельство связано с появлением эффективного постоянного поля

совпадающего с эффективным полем в классических уравнениях. В соответствии с этим спины можно считать квантованными вдоль направления эффективного поля во вращающейся системе координат с расстояниями между уровнями энергии состояний, равными

Волновая функция определяемая соотношением (2.59), связана с функцией оператором поворота осей координат, причем «прямое» вращение относительно неподвижной эквивалентно «обратному» вращению при неподвижном Как обычно, резонанс имеет место при Если преобразованный гамильтониан во вращающейся системе координат определить формулой

то формальное решение уравнения (2.61) будет иметь вид

откуда при учете (2.59) получим

заметим, что при

Выражение (2.636) представляет собой компактную запись решения уравнения Шредингера для случая вращающегося поля.

В качестве иллюстрации применения волновой функции (2.636) вычислим зависимость от времени среднего значения величины Конечно, результат уже известен из классического рассмотрения, справедливость которого была доказана выше. Для простоты будем считать, что условие резонанса выполняется точно. Тогда из (2.62) найдем

что при учете равенства (2.636) даст

Если ввести обозначение

и воспользоваться эрмитовостью операторов и то получим

Применяя соотношение (2.55), мы можем записать

Подставляя это равенство в (2.67), находим

Если намагниченность в момент времени направлена вдоль оси так что то

Отсюда следует, что z-компонента намагниченности осциллирует во времени с частотой как это и должно быть вследствие наличия прецессии вектора во вращающейся системе координат. Важно отметить, что приведенные рассуждення, не учитывающие взаимодействия спинов с решеткой и друг с другом, приводят к выводу, что намагниченность осциллирует между значениями неограниченно долго. Этот вывод существенно отличается от вывода, к которому можно прийти с помощью рассуждений гл. 1, основанных на понятии не зависящей от времени вероятности перехода. Переходы с не зависящими от времени вероятностями происходят только тогда, когда некоторые другие физические процессы нарушают когерентность прецессии вокруг направления во вращающейся системе координат.