§ 2. Элементарная теория резонанса

В последующих главах явление магнитного резонанса рассматривается как с классической, так и с квантовомеханической точки зрения. Классическое описание оказывается особенно полезным при обсуждении динамических или переходных эффектов. В качестве введения в физику магнитного резонанса мы рассмотрим вначале элементарную квантовомеханическую теорию этого явления.

При включении магнитного поля Н каждое ядро приобретает дополнительную энергию , которую называют зеемановской. Гамильтониан в этом случае имеет очень простой вид:

Направляя ось z вдоль приложенного постоянного магнитного поля Но, получаем

Собственные значения этого гамильтониана являются произведениями величины на собственные значения оператора Поэтому возможные значения энергии равны

Схема уровней энергии для случая который имеет место для ядер , приведена на рис. 1.1, где уровни эквидистантны и расстояние между нимн равно

Рис. 1.1. Уровни энергии для спина

Существование такой системы уровней энергии можно обнаружить по появлению избирательного поглощения. Для этого необходимо включить взаимодействие, которое могло бы вызвать переходы между уровнями. Для удовлетворения закона сохранения энергии необходимо, чтобы это взаимодействие изменялось во времени с угловой частотой определяемой соотношением

где разность энергий между начальным и конечным уровнями зеемановского энергетического спектра. Более того, матричный элемент этого взаимодействия, связывающий начальное и конечное состояния системы, должен быть отличным от нуля.

Чаще всего для наблюдения магнитного резонанса применяют переменное магнитное поле, направленное перпендикулярно постоянному полю. Если амплитуду переменного поля обозначить через то часть полного гамильтониана, приводящая к переходам, т. е. гамильтониан возмущения, будет иметь вид

Оператор имеет отличные от нуля матричные элементы связывающие состояния только в случае выполнения равенства . В соответствии с этим разрешены переходы только между соседними уровнями, что дает

или

Заметим, что постоянная Планка не входит в последнее соотношение, определяющее условия резонанса. Это обстоятельство указывает на возможность классической интерпретации явления. Ниже будет показано, что классическое описание действительно также приводит к соотношению (1.9а). Рассмотрение обоих подходов, классического и квантовомеханического, позволяет более глубоко понять изучаемые явления.

Соотношение (1.9а) позволяет вычислить частоту, при которой можно наблюдать резонанс, если известно, каким образом можно определить у. Методы вычисления этой величины для ядер лежат вне области наших интересов, хотя они и имеют очень большое значение в теории структуры ядра. Однако правильно оценить порядок величины у можно на основе простой классической модели.

Вычислим магнитный и механический моменты частицы массы и заряда движущейся по окружности радиуса с периодом Т. В этом случае механический момент

а магнитный момент

(мы рассматриваем систему как контур тока охватывающий площадь А). Поскольку получаем

Сравнение вычисленных значений и дает Помимо оценки порядка величины у эта формула позволяет сделать еще один важный вывод о том, что величина для ядер должна быть на три порядка меньше величины для электронов. Действительно, для магнитных полей от до резонанс в электронных системах наблюдается в области частот (диапазон СВЧ), в то время как ядерный резонанс наблюдается на частотах МГц (высокочастотный диапазон). Конечно, всегда можно изменить изменив Но, однако в большинстве случаев предпочтительнее пользоваться самыми сильными магнитными полями, какие могут быть получены в лабораторных условиях, так как при этом возрастает величина поглощаемых квантов и сигнал резонанса увеличивается.

Типичные экспериментальные устройства будут описаны ниже.