§ 3. Ядерная релаксация в металле

Теперь обратимся к примеру применений формулы (5.28). Рассмотрим ядерпую релаксацию в металле, вызываемую взаимодействием со спиновыми магнитными моментами электронов проводимости. Это основной релаксационный механизм.

В процессе спин-решеточной релаксации ядро совершает переходы, поглощая или отдавая энергию. Чтобы энергия сохранялась, в решетке должны происходить компенсирующие изменения. Поскольку существует связь с электронами проводимости, можно считать, что одновременно с ядерным переходом происходит электронный переход из некоторого состояния с волновым вектором к и ориентацией спина в состояние с Можно представить этот процесс как задачу рассеяния. Обозначив ядерные квантовые числа начального и конечного состояний тип соответственно, найдем, что число переходов в единицу времени из начального состояния ядра и электрона в конечное состояние определяется формулой

где - взаимодействие, вызывающее рассеяние. При этом в (5.29) предполагается, что в состоянии электрон есть, а в состоянии нет электрона. Полная вероятность ядерного перехода в единицу времени получается путем суммирования по всем начальным и конечным электронным состояниям. Имеем

Сумма по заполненным состояниям конечно, эквивалентна суммированию по электронам. Можно отбросить ограничения на введя величину которая равна единице, если состояние заполнено, и равна нулю, если не заполнено. Это позволяет представить (5.30) в виде

При усреднении (5.31) по ансамблю электронных систем нужно лишь заменить на функцию Ферми которую мы сокращенно обозначим

Теперь нужно получить явное выражение для Для этого необходимо конкретизировать взаимодействие V. Для металлов, волновая функция которых вблизи поверхности Ферми в основном определяется -состоянием, главный вклад во взаимодействие вносит связь ядерного и электронного спинов в -состоянии электрона

Здесь мы считаем, что ядро со спином I находится в начале координат. Волновую электронную функцию возьмем в виде произведений спиновой функции и функции Блоха Следовательно, начальная волновая функция имеет вид

Теперь легко вычислить матричный элемент, входящий в (5.29):

отсюда получаем

Подставляя это выражение в (5.32), можно вычислить -Здесь опять встречается суммирование по к и к медленно меняющейся функцнн. Как и выше, заменим суммирование интегралом, пользуясь плотностью состояний , введенной в гл. 4, § 7. Это дает

Сначала интегрируем используя соотношения (4.153) и (4.154) и вводя опять среднее от по энергетической поверхности Предполагаем также, что энергия входящая в функции Ферми, остается постоянной на поверхности постоянной энергии Это предположение должно выполняться, если спиновая энергия не зависит от положения на поверхности Тогда легко проинтегрировать по используя наличие -функции. Имеем

и, принимая получаем

Так как изменение ядерной энергии очень мало по сравнению с функцию Ферми можно заменить на . Это приводит к равенству На самом деле между существует небольшое различие. Именно это малое различие приводит к установлению населенности ядерных уровней, соответствующей тепловому равновесию. Однако здесь при вычислении мы можем пренебречь этим различием, поскольку его влияние уже учтено в соотношении (5.23).

Кроме того, поскольку как так и представляют собой медленно меняющиеся функции можно положить их равными своим значениям при . Мы будем оценивать и т. д. по их значениям при . Это лает нам следующее выражение для интеграла (5.39):

Здесь нижний предел интегрирования мы положили равным нулю, поскольку существенный вклад в интеграл вносит только область вблизи поверхости Ферми

Поскольку (5.41) не зависит от спиновых квантовых чисел и теперь можно вычислить сумму по спиновым состояниям в (5.39):

так как Отсюда получаем

Но

что непосредственно следует из вида функции

Поэтому имеет резкий пик (рис. 5.3) при

Поскольку , а функция имеет пик только внутри интервала порядка эта функция близка к -функции, если только другие функции под интегралом медленно меняются в этом интервале, т. е.

Используя этот результат, мы окончательно получаем

Заметим, что пропорционально температуре Т. Этот факт имеет простую физическую интерпретацию.

Рис. 5.3. Функции Сплошной линией изображена функция

Совершая переход, ядра передают электронам очень незначительную энергию по сравнению с Поэтому большинство электронов не может принять участие в релаксации, так как близкие по энергии

состояния, в которые они могут переходить, заполнены. Участвует в релаксации лишь небольшая часть электронов, относящаяся к определенной части распределения. Число этих электронов пропорционально

Выражение (5.46) можно написать в виде

где величина не зависит от ядерных состояний и т. Если имеется не одно, а несколько ядер, то можно показать [2], что принимает вид суммы по индексам и ядер

где при при быстро уменьшаются с увеличением расстояния между ядрами и Эти члены возникают вследствие размазанности волновой функции электрона по многим ядрам, так что не одно, а много ядер участвует в рассеянии электрона из данного начального состояния в данное конечное состояние.

Пользуясь нашей формулой для и выражением (5.47), находим

Подобное выражение получается и при использовании выражения (5.48). Важно отметить, что здесь нет необходимости пользоваться явным видом собственных функций и собственных значений, достаточно выполнить диагональное суммирование в каком угодно удобном представлении.

В случае одного спина квантовые числа тип относятся к собственным состояниям оператора Тогда, учитывая

и

находим

а поскольку

получаем

Величина которая входит в это выражение, имеется также в выражении для найтовского сдвига

Следовательно, можно использовать (5.55) для оценки в результате получим

Для ферми-газа невзаимодействующих спинов можно показать, что определяется выражением

где индекс нуль соответствует приближению невзаимодействующих электронов. В этом приближении получаем соотношение

которое обычно называют соотношением Коррингн по имени автора, впервые его опубликовавшего [3]. Это соотношение очень

удобно использовать для того, чтобы по измеряемым значениям найтовского сдвига находить времена спин-решеточной релаксации. Более точное соотношение получается из (5.56) и (5.57) и имеет вид

Время входящее в соотношение Корринги, представляет собой только один вклад во время релаксации, а именно вклад, обусловленный взаимодействием ядер с магнитными моментами электронов в -состоянии. Поэтому можно ожидать, что экспериментальное значение будет меньше теоретического. В связи с этим интересно рассмотреть таблицу, составленную Пайнсом [4] (табл. 5.1).

Таблица 5.1. Экспериментальные и теоретические значения (см. скан)

В табл. 5.1 приведены экспериментальные значения значения, вычисленные с помощью соотношения Корринги (5.58), и значения, вычисленные с помощью соотношения (5.59) с использованием нолученных Пайнсом теоретических величин

Мы замечаем, что значения вычисленные с помощью соотношения Корринги, всегда меньше экспериментальных значений. Это несоответствие нельзя отнести за счет других релаксационных процессов, так как если их учесть, то теоретическое значение будет еще меньше, чем значение, вычисленное с помощью соотношения Корринги, и несоответствие будет еще больше. С другой стороны, значения полученные Пайнсом на основе учета взаимодействия электронов друг с другом, больше, чем экспериментальные значения. Расхождение между значениями Пайнса и экспериментальными значениями, возможно, является мерой вклада других релаксационных процессов, которые здесь не учитывались.