§ 2. Гамильтониан квадрупольного взаимодействия (часть 1)

Чтобы получить количественную теорию квадрупольных эффектов, начнем с классического описания явления, используя плотность ядерного заряда Мы можем перейти к квантовомеханическому описанию, заменив классическую плотность ее оператором. Классическую энергию Е взаимодействия заряда, распределенного с плотностью с внешним полем, потенциал которого равен V, можно представить в виде

Разложим в ряд Тейлора относительно начала координат:

где переменные соответствуют х, у или z. Определяя

получаем

Если начало коордннат выбрано в центре масс ядра, то первый член отвечает электростатической энергии ядра, рассматриваемого как точечный заряд. Второй член включает электрический дипольный момент ядра, который обращается в нуль, поскольку центр масс совпадает с центром заряда ядра. Последнее можно доказать, если состояния ядра обладают определенной четностью, а наличие определенной четности подтверждается всеми экспериментальными данными. Более того, в положении равновесия ядро находится в нулевом среднем электрическом поле Интересно отметить, что, даже если бы дипольный момент не был равен нулю, стремление ядра занять положение в точке, где электрическое поле равно нулю, все равно приводило бы к тому, что дипольный член не оказывал бы заметного влияния. Именно по этой причине Смит, Пёрселл, Рэмси [1] решили определять ядерные электрические дипольные моменты у нейтронов, а не у заряженных ядер.

Третий член разложения представляет собой так называемый электрический квадрупольный член. Заметим здесь, что для потенциала V всегда можно найти главные оси, такие, что

Кроме того, потенциал V должен удовлетворять уравнению Лапласа

В начале координат это уравнение приводит к условию

(Иногда вместо (9.7) применяют уравнение Пуассона. Тогда необходимо соблюдать некоторую осторожность, так как нас должна интересовать только часть потенциала, зависящая от ориентации, а сферически симметричная часть должна быть отброшена.) Если положение ядра имеет кубическую симметрию, то

а учитывая (9.7), найдем, что все три производные равны нулю. В этом случае квадрупольное взаимодействие равно нулю. Такая ситуация возникает, например, для в металлическом натрии. В объемноцентрированной кубической решетке положение каждого ядра имеет кубическую симметрию.

Удобно использовать величины определяемые выражением

при

Как увидим, введение величин позволяет выделить в левой части (9.10) член, не зависящий от ориентации ядра. Для квадрупольной энергии тогда получим

Поскольку V удовлетворяет уравнению Лапласа, второй член в правой части выражения (9.11) обращается в нуль. В результате имеем

Даже если бы второй член в (9.11) не был равен нулю, он не зависел бы от ориентации ядра

Чтобы найти квантовомеханическое выражение для квадрупольного взаимодействия, нужно просто вместо классической плотности подставить соответствующий оператор плотности в виде

где суммирование ведется по индексам ядерных частиц с зарядом Поскольку для нейтронов заряд равен нулю, а для протонов в сумме можно учитывать только протоны. Тогда

Подставляя (9.14) в классическое выражение для получаем квадрупольный оператор

Тогда для квадрупольного члена гамильтониана будем иметь

Выражения (9.15) и (9.16) очень неудобны для применения, поскольку они содержат сумму по всем ядерным частицам. Это приводит к необходимости рассматривать ядро как многочастичную систему, чего удалось избежать при рассмотрении магнитных взаимодействий. На самом деле подобная трудность возникает и в случае магнитного диполя, однако мы ее просто обошли.

Выражение (9.15) для квадрупольного взаимодействия позволяет рассматривать значительно более сложные задачи, чем те, которые возникают при изучении резонансных явлений. В последнем случае, вообще говоря, имеют дело только с основным состоянием ядра или с достаточно долгоживущим возбужденным состоянием. Собственные состояния ядра характеризуются полным моментом количества движения каждого состояния, значением компоненты момента количества движения и набором других квантовых чисел которые мы не будем конкретизировать. Поскольку нас будет интересовать только пространственная переориентация ядра в данном энергетическом состоянии, нужно рассмотреть только диагональные по матричные элементы. Таким образом, необходимы лишь следующие матричные элементы квадрупольного взаимодействия:

Можно показать, что для них выполняется равенство

где С — коэффициент, зависящий от квантовых чисел I и Чтобы доказать равенство (9.17), нужно рассмотреть коэффициенты Клебша—Гордана, так называемые неприводимые тензорные операторы и теорему Вигнера — Эккарта.