§ 10. Соотношения между переходным и стационарным откликами системы и между действительной и мнимой частями восприимчивости

Чтобы избежать насыщения, предположим, что переменное магнитное поле достаточно мало. В таком случае магнитную систему можно считать линейной. Это означает, что намагниченность, создаваемая двумя одновременно действующими слабыми полями, будет равна сумме намагниченностей, создаваемых каждым полем в отдельности. (Постоянное поле Но нельзя рассматривать в качестве одного из таких полей, но этим способом удобно рассматривать эффекты, обусловленные небольшими изменениями постоянного поля). В этом же смысле обычные электрические цепи можно считать линейными, так как в них ток, создаваемый двумя источниками напряжения, равен сумме токов, создаваемых каждым источником напряжения в отдельности.

Рассмотрим намагниченность в момент времени возникающую благодаря действию магнитного поля в предыдущий момент времени в течение промежутка времени

(рис. 2.14). Вследствие линейности системы величина будет пропорциональна При выполнении условия величина будет пропорциональна также поскольку два импульса, разделенные небольшим промежутком времени, должны давать такой же эффект, какой они дали бы будучи приложенными к системе одновременно. Эту пропорциональность можно записать в виде соотношения

где — «константа» для заданных значений и которая, однако, может изменяться при изменении промежутка времени отделяющего момент рассмотрения намагниченности от момента действия поля.

Рис. 2.14. Импульс магнитного поля.

Полную намагниченность в момент времени можно получить, интегрируя (2.100) по всем предшествующим моментам времени, в течение которых действовало поле

Заметим, что при так как следствие не может предшествовать причине.

Чтобы выяснить смысл величины предположим, что представляет собой -функцию времени в момент времени Тогда намагниченность для (которую мы будем обозначать ) будет равна

Таким образом, представляет собой реакцию (отклик) на возмущение вида возникающее в момент времени . Знание величины позволяет определять по формуле (2.101) намагниченность, обусловленную магнитным полем, произвольным образом зависящим от времени.

Если магнитное поле, величина которого равна единице, скачкообразно возникает в момент времени (рис. 2.15), то возникающая при этом намагниченность, которую мы обозначим будет равна

дифференцируя это выражение, находим

Из уравнения (2.104) видно, что если известна величина то можно вычислить

Рис. 2.15. Ступенчатая функция.

В качестве примера исследуем намагниченность образца, возникающую после включения единичного постоянного магнитного поля вдоль оси z для системы, подчиняющейся уравнениям Блоха. Из этих уравнений находим

или

Заметим, что в любой реальной системе намагниченность, возникающая после скачкообразного изменения поля, ограничена по величине, так что величина

не обращается в бесконечность.

Перейдем теперь к случаю переменного магнитного поля. Запишем его для простоты в комплексном виде:

(кликните для просмотра скана)

Легко показать далее, используя интегральное представление -функции

что

Таким образом, функции являются фурье-образами друг друга. Задание одной из этих функций полностью определяет другую. Свойства резонансных линий можно предсказывать, анализируя либо отклик на переменный сигнал, либо переходный отклик. Кубо и Томита [5], например, свою общую теорию магнитного резонанса основывают на переходных откликах, вычисляя отклик системы на скачкообразное изменение поля.

Выражения (2.110) дают некоторую информацию о значениях величин при нулевой и бесконечно большой частотах. Очевидно, при величина также равна нулю, так как в этом случае обращается в нуль, но величина отлична от нуля при Более того, если функция непрерывна и ограничена, так что величина конечна, то обе величины обращаются в нуль при со это связано с быстрыми осцилляциями функций сот и благодаря которым подынтегральные выражения «усредняются» до нуля.

Вообще говоря, функция может обращаться в бесконечность при . В этом можно убедиться, рассмотрев отклик на скачкообразное изменение поля . В данном случае, конечно, нельзя считать, что функция будет иметь разрывы в моменты времени, отличные от момента времени когда происходит скачкообразное изменение поля. Вследствие ограниченности отклика при интегрировании функции вблизи должна получаться конечная величина, несмотря на то что Для описания этой ситуации введем -функцию, т. е. предположим, что

где функция не содержит -функции. Тогда

Здесь интеграл стремится к нулю при вследствие чего можно написать . Поэтому полезное в ряде случаев отделение -функции от эквивалентно записи

где функция теперь не содержит -функции.

[Конечно, ни одна физическая система не может иметь отличную от нуля намагниченность, следующую за полем при поэтому . Однако, если рассматривать аналогичную теорему для магнитной проницаемости то величина будет отлична от нуля. Мы сохранили здесь величину для того, чтобы указать способ, которым должна вводиться в рассмотрение подобная величина.]

Докажем теперь теорему, устанавливающую связь между и — так называемую теорему Крамерса — Кронига. Для этого будем считать функцией комплексной переменной Действительная часть z совпадает с частотой со, однако мы сохраним обозначение х, так как при этом формулы имеют более привычный вид. Таким образом,

Поскольку любой интеграл в определенном смысле представляет собой сумму, величина может рассматриваться как сумма экспоненциальных функций. Каждая экспонента является аналитической функцией z, поэтому интеграл будет также аналитической функцией, если только интегрирование не приводит к каким-либо особым эффектам.

Аналитичность функции можно доказать с помощью условий Коши. Функция

где и и — действительные функции, является аналитической функцией z, если выполняются условия Коши

Из (2.116) находим

откуда получаем

Таким образом, условия Коши удовлетворяются в предположении, что дифференцирование можно выполнять под знаком интеграла. Последнее допустимо при соблюдении ряда условий, которые рассматриваются в книге Гобсона [6].

Рис. 2.16. Контур интегрирования.

Для наших целей вполне достаточно потребовать, чтобы интегралы в (2.119) и (2.120) не расходились. Этого достаточно для рассмотрения области отрицательных значений у. Для любых достаточно хороших функций например для функций, определяемых выражением (2.106), интеграл будет сходиться в области , так что функция будет аналитической на действительной оси и в нижней полуплоскости комплексных значений

В тех случаях, когда функции не являются достаточно хорошими, мы будем считать, что их можно рассматривать как предельные значения достаточно хороших функций. (Так, не имеющую физического смысла линию поглощения нулевой ширины можно рассматривать как предельное значение очень узкой линии.)

Вследствие присутствия множителя

Выше было показано также, что

Поэтому функция является аналитической в области и обращается в нуль при в нижней половине комплексной плоскости.

Рассмотрим интеграл от функции

по контуру, изображенному на рис. 2.16. По теореме Коши этот интеграл равен нулю, так как функция не имеет полюсов внутри контура:

Интеграл по дуге большого круга радиуса равен нулю, поскольку равно нулю на этой дуге. Остаются интегралы по действительной оси и по дуге радиуса где Таким образом,

Здесь символ Р означает, что необходимо брать интеграл в смысле главного значения (т. е. рассматривать интеграл как предел суммы интегралов при одновременном стремлении к нулю величины в обоих интегралах). Для действительной и мнимой частей отсюда находим известные соотношения Крамерса — Кронига

Подобные соотношения можно получить и для таких величин, как диэлектрическая проницаемость или диэлектрическая восприимчивость.

Смысл этих соотношений заключается в том, что они налагают ограничения, например на свойства дисперсии, если известно поглощение. Нельзя задавать независимо друг от друга. Иначе можно сказать, что задание значений для всех частот позволяет вычислить значения для любой частоты.

Рис. 2.17. Спектр поглощения (а) и соответствующий ему спектр дисперсии (б).

Отметим, в частности, что для узких резонансных линий при выполнении соотношения — статическая восприимчивость

Основной вклад в интеграл от функции вносит область под кривой поглощения. Очевидно, он может быть вычислен, если известна статическая восприимчивость.

В качестве примера рассмотрим случай, когда

Первый член соответствует поглощению на частоте Второй член добавлен для того, чтобы сделать функцию у нечетной

функцией . Вычислим соответствующее этой функции:

Здесь мы воспользовались равенством

Конечно, вблизи резонанса существен только первый член. Эта функция представлена на рис. 2.17.