§ 2. Квантовомеханическое описание спина в постоянном поле

Как было показано выше, квантовомеханическое описание спина в постоянном поле приводит к выражению для энергии, зависящему от квантового числа которое представляет собой собственное значение проекции спина параллельной постоянному полю Выражение для энергии имеет вид

Соответствующие собственные функции не зависящего от времени уравнения Шредингера обозначим . Тогда зависящее

от времени решение, соответствующее данному значению можно записать в виде

Следовательно, наиболее общее решение имеет вид

где — комплексные постоянные. С помощью можно рассчитать средние значения любых наблюдаемых величин. В качестве примера вычислим среднее значение проекции магнитного момента на ось

Необходимо подчеркнуть, что среднее значение величины обозначаемое зависит явно от времени, поскольку в него входят зависящие от времени функции. Учигывая, что определено выражением (2.11), находим

где

представляет собой не зависящий от времени матричный элемент. Выражение, подобное (2.13), можно получить для произвольного оператора. Отметим, что средние значения величин, вообще говоря, зависят от времени; в них входят гармонически осциллирующие члены, возможные частоты которых

соответствуют частотам поглощения или излучения при переходах между состояниями . Здесь мы встречаемся с основным предположением, сделанным Гейзенбергом и Борном при формулировке квантовой теории в матричной форме, согласно которому наблюдаемые величины должны определяться выражениями типа (2.13).

Поскольку матричные элементы равны нулю для всех кроме в выражении (2.13) остаются лишь члены с угловыми частотами, равными или Сумма их также включает только частоты Таким образом, среднее значение осциллирует во времени с классической частотой прецессии.

Здесь удобно ввести хорошо известные «повышающие» и «понижающие» операторы определяемые равенствами

Операторы можно выразить через пользуясь равенствами (2.16):

Операторы называются «повышающими» и «понижающими» в зависимости от результата их действия на функцию

Оператор переводит в функцию, у которой индекс увеличивается на единицу. Очевидно, величина обращается в нуль, если не выполняется соотношение а величина обращается в нуль, если нарушается соотношение Эти правила отбора Ван Флек [1] назвал «более жесткими» правилами отбора, чем правила отбора для операторов которые могут переводить состояние как в состояние так и в состояние

Чтобы лучше понять физический смысл общего выражения (2.13) для рассмотрим форму, которую оно принимает для спина 1/2. Учитывая, что диагональные матричные элементы равны нулю, получаем

Для удобства введем в рассмотрение величину Мы видели выше, что — угловая частота, при которой в системе возникает резонанс; она совпадает с классической частотой прецессии. Принимая во внимание, что матричный элемент

является величиной, комплексно-сопряженной матричному элементу и вводя символ для обо значения действительной части, получаем

Вычисляя матричный элемент с помощью равенств (2.17) и (2.18), находим

Величины с удобно выразить через две действительные положительные величины а и и через две другие действительные величины которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения:

Условие нормировки волновой функции дает Отсюда имеем

Подобным же образом получаем

Рис. 2.2. Связь проекций вектора А с углами и модулем А.

Заметим, что величины осциллируют во времени с ларморовской частотой а величина не зависит от времени. Более того, максимальные значения одинаковы. Если определить

и использовать соотношение которое следует из (2.226), то нетрудно видеть, что ведет себя как вектор, направленный под определенным углом к оси и прецессирующий вокруг этой оси.

В полярных координатах (рис. 2.2) проекции любого вектора А можно записать в виде

С помощью алгебраических преобразований можно показать далее, что

если

Соотношения (2.26) можно рассматривать, конечно, как формальную замену переменных, однако выражения (2.25) допускают простое физическое истолкование, которое заключается в том, что среднее значение оператора можно рассматривать как вектор длиной ориентация которого задается углами Если задана ориентация в некоторый момент времени, то ее можно найти для всех последующих моментов времени, исходя из допущения, что прецесспрует с угловой скоростью в направлении уменьшения угла Следует особо подчеркнуть, что ориентацию можно задать произвольно (путем выбора а или , так как иногда приходится сталкиваться с ошибочным мнением, что спины могут быть направлены только параллельно или антипараллельно направлению поля квантования. Одно из достоинств квантовой теории заключается в том, что она может описывать как дискретные, так и непрерывные свойства. С помощью двух квантовых состояний с можно описать все средние значения намагниченности, заключенные между параллельной и антипараллельной ориентациями. Так, волновая функция с дает среднее значение вектора намагниченности, соответствующее его положению в плоскости что отвечает равной нулю -компоненте. Направление вектора в этой плоскости определяется комплексной фазой а также временем наблюдения ориентации.

Рассмотрим вкратце, как должна выглядеть волновая функция образца, содержащего большое количество невзаимодействующих спинов, находящихся в состоянии теплового равновесия. Каждому спину в этом случае будет отвечать волновая функция, вообще говоря, не совпадающая с волновой функцией какого-либо одного состояния или с она будет представляться некоторой линейной комбинацией волновых функций возможных состояний. Каждый спин характеризуется определенным набором величин Эти величины различны для разных спинов.

В качестве примера рассмотрим распределение величин , определяющих ориентацию проекций спинов на плоскость

в начальный момент времени Если спины находятся в состоянии теплового равновесия, то среднее значение вектора полной намагниченности должно быть направлено параллельно магнитному полю. Отсюда следует, что нельзя отдавать предпочтение какому-либо одному значению по сравнению с другими значениями этой величины, т. е. спины характеризуются случайным распределением . С другой стороны, поскольку спины в какой-то степени поляризованы, значения а, большие чем значения должны встречаться чаще, чем значения большие чем а. Иными словами, среднее значение величины а должно быть больше среднего значения величины Из выражения (2.13) видно, что наблюдаемые величины можно определить, либо просто задав значения либо задав комплексные произведения которые ради удобства мы будем обозначать символом

В данном случае

Величины можно рассматривать как матричные элементы комплексной матрицы Р. Отметим, что диагональные матричные элементы определяют вероятности нахождения спинов в различных состояниях в то время как недиагональные элементы связаны с компонентами магннтного момента, перпендикулярными постоянному полю. В следующем параграфе мы будем пользоваться матрицей Р, усредненной по статистическому ансамблю. Утверждение, что в состоянии теплового равновесия вектор намагниченности параллелен полю, равносильно утверждению, что усредненные по ансамблю величины равны нулю, в то время как для вероятности нахождения спинов в различных состояниях определяются распределением Больцмана.