§ 3. Коэффициенты Клебша — Гордана, неприводимые тензорные операторы и теорема Вигнера — Эккарта

Теорема Вигнера — Эккарта является одной из наиболее полезных теорем в квантовой механике. Чтобы ее сформулировать, нужно ввести коэффициенты Клебша — Гордана и неприводимые тензорные операторы Мы сначала сформулируем теорему Вигнера — Эккарта и определим коэффициенты Клебша — Гордана. После этого мы рассмотрим неприводимые тензорные операторы, а затем укажем вывод теоремы Вигнера — Эккарта.

Рассмотрим ряд волновых функций, характеризуемых квантовыми числами полного момента количества движения или У

и z-компоненты момента количества движения или Совокупность всех остальных квантовых чисел, определяющих состояние системы, обозначим или Нам нужно вычислить матричные элементы операторов используя эти волновые функции как базисные. Теорема Вигнера — Эккарта состоит в том, что все эти матричные элементы выражаются с помощью соответствующих коэффициентов Клебша—Гордана через величины которые зависят от и но не зависят от и М. Математически теорема Вигнера — Эккарта формулируется следующим образом:

Определим теперь коэффициенты Клебша — Гордана. Их появление связано с проблемой сложения двух моментов количества движения. Поэтому рассмотрим систему, состоящую из двух частей. Пусть одна из них характеризуется квантовыми числами момента количества движения и его -компоненты М, а другая соответственно квантовыми числами У и Введем также квантовые числа относящиеся к системе в целом. Тогда волновые функции описывают каждую часть системы в отдельности, а волновая функция всю систему. Поскольку все возможные произведения волновых функций двух подсистем составляют полный набор, функцию можно представить в виде линейной комбинации таких произведений:

Коэффициенты называются коэффициентами Клебша — Гордана. Некоторые их свойства хорошо известны. Например, они отличны от нуля только в том случае, если Другое свойство, которое часто называют правилом треугольника, широко используется в атомной физике. Оно состоит в том, что коэффициенты обращаются в нуль, если не равно ни одному из значений

Определим теперь неприводимые тензорные операторы Пусть — операторы компонент момента количества движения некоторой системы. Введем, как обычно, операторы определяемые выражениями

Конструируя из операторов системы различные операторные функции можно найти затем коммутаторы вида Часто можно определить семейство

операторов целое число), которые характеризуются индексом и для которых выполняются следующие правила коммутации:

Такие операторы называются неприводимыми тензорными операторами. В качестве примера приведем набор операторов для

Другой набор операторов можно составить, пользуясь операторами спинового, орбитального и полного моментов и Вводя операторы

можно показать, что операторы

удовлетворяют соотношениям (9.21). [Действительно, операторы (9.24) представляют собой компоненты неприводимого тензорного оператора относительно операторов и 4, а также Операторы определенные соотношениями (9.22), можно обозначить так как они являются функциями компонент оператора Соответственно операторы определенные соотношениями (9.24), можно обозначить

Полезно представить себе более наглядно определение операторов с помощью правил коммутации (9.21). Для этого вспомним (см. гл. 2), что операторы момента количества движения являются операторами поворота. Поэтому неудивительно, что при повороте системы координат, как это следует из (9.21), переходит в линейную комбинацию точно так же, как сферические функции переходят в линейные комбинации функции Доказательство этой теоремы дано в книге Роуза [3].

Перейдем теперь к вычислению матричных элементов -Хорошо известно, что матричные элементы момента количества движения можно получить непосредственно из правил коммутации для его компонент. Покажем, что подобным же образом можно вычислить матричные элементы с помощью (9.21).

Пусть имеется набор коммутирующих друг с другом операторов и других, определяющих состояние системы, которым

соответствуют собственные значения Здесь означает все остальные квантовые числа. Вычислим матричный элемент вида

Пользуясь правилом коммутации

получим

Но, с другой стороны,

Последнее равенство следует из эрмитовости оператора действующего в члене 1 на функцию, стоящую слева от него, а в члене 2 — на функцию, стоящую справа от него.

Таким образом,

Из (9.276) следует

Аналогичным образом можно найти соотношения для матричных элементов остальных коммутаторов (9.21). Имеем

Но

Из (9.29) и (9.30) следуют рекуррентные соотношения

Соотношение (9.27 б) имеет смысл только для неисчезающих членов. При этом, если какой-либо один из матрнчных элементов

в (9.31) удовлетворяет этому соотношению, то оно выполняется и для всех остальных. Рекуррентные соотношения (9.276) и (9.31) позволяют связать матричные элементы одного оператора с матричными элементами другого оператора Это дает возможность выразить все матричные элементы с данными значениями через какой-либо один матричный элемент.

Дальнейший анализ рекуррентных соотношений требует привлечения коэффициентов Клебша—Гордана. Попутно будет приведен в основных чертах вывод теоремы Вигнера — Эккарта.

Как показал Роуз, для коэффициентов Клебша — Гордана справедливы такие же рекуррентные соотношения, как и для матричных элементов . Выведем одно из правил отбора для Для этого рассмотрим оператор

причем

Рассмотрим также следующий матричный элемент оператора

Здесь оператор действует на функцию, стоящую справа. Представив оператор в виде и подействовав им на функции, стоящие слева, получим

Приравнивая (9.34) и (9.35), находим

Это соотношение полностью совпадает с соотношением (9.276), если заменить в нем

на

Вычисляя таким же способом матричные элементы операторов получаем соотношения, аналогичные (9.31). Действительно, для коэффициентов выполняются такие же рекуррентные соотношения, как и Таким образом, между коэффициентами Клебша — Гордана и

матричными элементами оператора существует связь, которая и составляет содержание теоремы Вигнера — Эккарта

Здесь величина одинакова при заданных для всех значений и М.

Как можно видеть из примеров (9.22) и (9.24), тензоры для данных и М могут быть построены из различных операторов. При этом, конечно, коэффициенты Клебша — Гордана будут одинаковыми для любых с данными и М, однако значение будет зависеть от того, из каких переменных строится оператор

Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее на примере частицы со спином и орбитальным моментом количества движения 1. Полный момент количества движения

где

— координаты частицы. Построим теперь два набора компонент один из которых будет функцией полного момента а другой — координат Можно убедиться, что функции, представленные в табл. 9.1, которые обозначены действительно удовлетворяют правилам коммутации (9.21) с

Таблица 9.1 (см. скан)

Здесь обозначение использовано для функции составленных из компонент х, у и z вектора Легко установить соответствие между Действительно, при

замене на на на оператор переходит в Это соответствие следует из подобия соотношений коммутации для

Здесь (9.40а) можно проверить, пользуясь выражениями (9.38) и (9.39). Следовательно, любая функция переменных х, у и z будет подчиняться точно таким же правилам коммутации с что и функция в которой вместо X подставлено Таким образом, если известно, что некоторая функция операторов представляет собой то, заменяя на х, соответственно, получаем компоненты такого же тензора. При подобных заменах нужно соблюдать некоторую осторожность, так как операторы, из которых строятся неприводимые тензоры, могут не коммутировать друг с другом. Так, например, оператор имеет вид симметризованного произведения а не Такой способ построения неприводимых тензорных операторов путем прямой замены возможен для любых других переменных, для которых выполняются правила коммутации

Принимая во внимание сделанные выше замечания и соотношение (9.37), можно установить связь между матричными элементами двух операторов зависящих от разных переменных Получаем

Поскольку множитель постоянен (т. e. не зависит от можно найти все матричные элементы для фиксированных зная соответствующую постоянную и матричные элементы

Здесь нужно отметить одно обстоятельство. Может случиться так, что (9.41) не имеет смысла, поскольку для некоторых операторов матричный элемент обращается в нуль, хотя матричный элемент отличен от нуля. Например, если составлен из компонент оператора все матричные элементы с исчезают. При этом, конечно, обращается в нуль также и соотношение (9.41) содержит неопределенность.