Приложения

А. Теорема об экспоненциальных операторах

Рассмотрим экспоненциальные функции операторов А и В и обозначим коммутатор этих операторов через С:

Теорему можно сформулировать следующим образом: если операторы А и В коммутируют с С, то

или

Докажем равенство

Для доказательства удобно ввести функцию . Будем искать такую функцию для которой справедливо соотношение

Составим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция Это дифференциальное уравнение, очевидно, будет определять изменение величины при малых изменениях Величину можно найти, интегрируя дифференциальное уравнение по К в пределах от до

Дифференцируя обе части равенства по К, получаем

Используя и умножая слева на мы можем переписать в виде

Вычислим величину

Для этого продифференцируем обе части по К; получаем

поскольку оператор коммутирует с А.

Интегрируя находим

Постоянная интегрирования легко определяется из равенства которое при дает . Следовательно,

Подставляя и учитывая коммутативность операторов С и В, получаем

отсюда следует

Константа в этом выражении равна нулю, поскольку из равенства находим Следовательно,

что и требовалось доказать.