Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Экспоненциальные операторыПолезно рассмотреть, какое преобразование в квантовой механике соответствует переходу к вращающейся системе координат в классической механике. Однако для этого необходимо использовать несколько соотношений, которые мы здесь приведем для удобства читателя. Пусть имеются две волновые функции Ф и
где интегрирование проводится в определенной области пространства. Чтобы доказать эрмитовость оператора, необходимо сформулировать условия, которым должны удовлетворять и Ф, а также определить область интегрирования. Например, если оператор Собственные и средние значения эрмитовых операторов представляют собой действительные величины. Поэтому любой оператор, соответствующий физически наблюдаемой величине, должен быть эрмитовым. Так, операторы эрмитовыми. Учитывая эрмитовость этих операторов, нетрудно показать, пользуясь соотношением (2.44), что операторы В теории функций экспоненциальная функция комплексной переменной z определяется следующим образом:
этот степенной ряд сходится при всех
Особый интерес представляет функция
Применяя разложение в ряд, можно показать, что если оператор
Экспоненциальная функция операторов подчиняется тем же алгебраическим правилам, что и функция обычных переменных, за исключением тех случаев, когда встречаются два некоммутирующих оператора. Так, если А и В — два оператора, то нетрудно проверить с помощью разложения в ряд, что
только в том случае, если операторы А и В коммутируют. Подобным же образом
только в том случае, если А и В коммутируют. Если А и В не коммутируют, то может быть справедливо другое полезное соотношение. Обозначим коммутатор операторов А и В через С:
Пусть оператор С коммутирует как с А, так и с В:
Тогда
Доказательство этой теоремы дано в приложении А. Применение экспоненциальной функции дает очень простой метод нахождения формального решения уравнения Шредингера, если гамильтониан не зависит явно от времени. Так, если
то функцию
Соотношение (2.49) можно проверить, непосредственно подставив в уравнение (2.48). Например, если рассматривается движение спина в магнитном поле, так что
где Известно, что поле
где
Последнее равенство определяет оператор Равенство (2.50а) нетрудно интерпретировать следующим образом. Первый интеграл, определяющий величину относительно неподвижной системы коордннат, в которой определена функция Легко показать, что операторы
Чтобы выяснить его смысл, вычислим величину
Рис. 2.9. Относительное положение осей координат Однако той же цели можно достигнуть более простым путем, написав и решив простое дифференциальное уравненне для функции
или, после учета соотношения
Аналогичным образом можно получить
или
откуда находим
Необходимо определить постоянные интегрирования (как мы увидим, эти постоянные являются операторами). Очевидно,
Величины
|
1 |
Оглавление
|