Ж. Диффузия в неоднородных магнитных полях

В гл. 2, § 9, мы объяснили, как диффузия в неоднородном постоянном магнитном поле вызывает уменьшение сигнала спинового эха по мере увеличения интервала времени между импульсами. Причина уменьшения сигнала эха заключается в том, что частота прецессии ядер изменяется. В процессе диффузии ядра перемещаются от точки к точке, значения внешнего магнитного поля в которых различны из-за его неоднородности. Ситуация близка к той, которую мы рассмотрели в приложении Е. Там предполагалось, что ядро имеет два возможных, естественных значения частоты прецессии. В случае диффузии в неоднородном магнитном поле имеется континуум значений напряженности магнитного поля. Для простоты предполагаем аксиальную симметрию неоднородного поля

В приложении Е мы описали с помощью кинетических уравнений (Е. 12а) и (Е. 12б) процесс перескока спинов между двумя положениями с различными частотами прецессии. В случае диффузии возможные частоты прецессии образуют континуум, как следует из формулы (Ж. 1).

Диффузию обычно описывают диффузионным уравнением. Торри [1] рассмотрел диффузионное уравнение совместно с

уравнением Блоха. Мы последуем его вычислениям с небольшими упрощениями.

Предположим, что каким-либо способом в постоянном однородном магнитном поле вдоль оси z при отсутствии переменного поля создали неоднородную намагниченность распределение которой показано на рис. а. Предположим также, что величина бесконечно велика.

Тогда полная -составляющая намагниченности измениться не может, но в результате диффузии намагниченность будет перераспределяться по объему образца, как показано на рис. и в конечном счете мы получим ее однородное распределение (рис. Ж.1, в). (Напомним, что символ означает здесь плотность намагниченности.) Процесс, изображенный на рис. Ж.1), описывается уравнением

где — постоянная диффузии.

Если в начальный момент времени имеются также составляющие плотности намагниченности то в постоянном однородном магнитном поле диффузия будет их изменять.

Рис. Ж.1. (см. скан) Образец в постоянном поле, приложенном вдоль осн z, намагничивается в направлении Плотность намагниченности считается вначале не однородной. На рис. Ж.1, а дана зависимость намагниченности в начальный момент времени от координаты х (образец имеет протяженность от до

В результате диффузии плотность намагниченности в последующие моменты времени (рис. Ж.1, б) распределяется по всему образцу и высота пика понижается. Наконец намагниченность становится однородной (рис. Ж.1. в). Заметим, что если величина бесконечно велика, полная z-составляющая намагниченности» которая характеризуется площадью под кривой имеет одинаковую величину во всех трех случаях.

Постоянное магнитное поле вызывает прецессию Поэтому изменения возникают из-за диффузии и из-за прецессии. Путем преобразования к системе координат, вращающейся с частотой прецессии,

можно исключить прецессию, и в этой системе записать

или, воспользовавшись соотношением

Уравнение описывает векторный эффект, так как величина двумерная. Это аналогично уравнению (Е. 12), если принять во внимаиие, что функция положения.

Теперь поступим так же, как в приложении Е, чтобы рассмотреть случай, когда постоянное поле неоднородно. Мы должны включить влияние распределения частоты прецессии.

Учитывая прецессионный и релаксационный члены, получаем

где

— среднее поле по объему образца. Подставляя в выражение для из получаем уравнение, описывающее свободную прецессию в постоянном неоднородном магнитном поле, которое имеет аксиальную симметрию

Уравнение включает естественные эффекты спин-спино-вой и спин-решеточной релаксации. [То, что эффект спин-решеточной релаксации включается, можно проверить, исследуя уравнение (2.77) при Градиент поля определяется в начале координат и постоянен. Единственная зависимость от координат в пределах образца в уравнении содержится в первом члене правой части.

Если диффузии нет уравнение решить просто, так как для каждого слоя образца при фиксированном значении z оно описывает прецессию во вращающейся системе координат в постоянном поле с учетом затухания с постоянной времени Решение имеет вид

где - комплексная плотность намагниченности при Предположим, что намагниченность однородна. Однородную намагниченность можно получить с помощью приготавливающего импульса который действует на образец, намагниченный до теплового равновесия вдоль постоянного поля. (Здесь мы пренебрегаем небольшими вариациями статической намагниченности при тепловом равновесии, связанными с неоднородностью постоянного магнитного поля.) Рассмотрим плотность намагниченности в слоях образца с координатами где малая часть размера образца вдоль оси Эти три плоскости находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, поэтому частоты прецессии ядер в этих плоскостях отличаются на одну и ту же величину. В момент времени фазы прецессии ядер в этих трех слоях совпадают, затем намагниченность слоя опережает намагниченность слоя z, а намагниченность слоя отстает. Углы опережения и отставания постепенно растут во времени, но всегда остаются равными. Если спины из слоев диффундируют в слой z, то их количество будет одинаково. Поэтому они будут приносить в намагниченность слоя z одинаковые по величине добавки как с опережением, так и с отставанием по фазе. В результате фаза полной намагниченности слоя z не будет изменяться. Следовательно, можно ожидать, что диффузия не влияет на фазу изме-. няющейся намагниченности слоя z, но влияет на величину этой намагниченности. До тех пор пока значение z не попадает на границу образца, каждый слой имеет два симметрично расположенных с разных сторон слоя на расстоянии Из этих двух слоев намагниченность диффундирует в слой z с опережением или отставанием по фазе в зависимости от и независимо от Поэтому мы попытаемся искать решение уравнения в следующем виде:

После подстановки этого решения в уравнение получим уравнение для величины

или

Постоянную А (0) внесем в Тогда находим

Эта формула описывает изменение во времени намагниченности от ее начального значения в момент после импульса

Теперь необходимо рассмотреть, что случится, если мы применим импульс в момент времени который поворачивает намагниченность вокруг оси у. Плотность намагниченности непосредственно перед импульсом равна

Импульс не меняет но превращает Это эквивалентно изменению фазового угла от значения до значения Таким образом, при

Далее намагниченность будет изменяться во времени в соответствии с формулой (Ж.12)

Подставляя в выражение в качестве начального условия значение получаем в момент (или

Комплексные фазовые множители в сокращаются, и мы получаем известный результат Хана.

Важно отметить, что диффузионный член после двух интервалов времени равен экспоненте с показателем а не с показателем Это означает, что потеря фазы происходит независимо в каждый интервал времени т. Метод Карра и Пёрселла [2], обсужденный в гл. 8, основан именно на этом факте. Они заметили, что если применить последовательность импульсов , разделенных интервалами то можно получить последовательность эха и, выбрав достаточно малым, можно значительно уменьшить диффузионное затухание намагниченности и сделать его меньше релаксационного.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)