§ 3. Уравнения движения для средних значений
Тесная взаимосвязь между классическим и квантовым рассмотрением становится особенно ясной при исследовании дифференциального уравнения, описывающего изменение во времени
средних значений 
Это уравнение получается с помощью хорошо известной формулы, вывод которой мы при ведем в несколько сокращенной форме.
Пусть 
- две волновые функции, являющиеся решениями одного и того же уравнения Шредингера
Рассмотрим оператор 
который не зависит явно от времени. Тогда
Это уравнение легко вывести, используя соотношение
в котором производные по времени выражаются с помощью уравнения (2.27).
Уравнение (2.28) удобно записать в оперативной форме. Правую часть этого уравнения можно записать в виде 
Для левой части введем некоторые новые обозначения. Определим оператор 
с помощью равенства
Таким образом, символ 
не означает взятие производной от 
по времени. Такая производная равна нулю, поскольку 
не зависит явно от времени; 
представляет собой просто оператор, смысл которого определяется равенством (2.30). Из (2.30) следует
где 
— обычный коммутатор 
Этим формализмом можно воспользоваться для вычисления производных по времени от средних значений 
Введем фиксированную в пространстве систему осей 
с осью 
направленной параллельно направлению магнитного поля в данный момент времени. (Таким путем мы включаем в рассмотрение как постоянное, так и переменное поля.) Тогда
Воспользуемся коммутационными соотношениями для компонент момента количества движения. Их все можно получить
циклической перестановкой из соотношения
Тогда
Точно так же находим
Эти уравнения являются компонентами векторного операторного уравнения
где
Далее, поскольку 
производя усреднение, получаем уравнение для среднего значения магнитного момента
которое представляет собой классическое уравнение движения магнитного момента. Уравнение (2.37) показывает, что среднее значение магнитного момента удовлетворяет - классическому уравнению движения. Оно выведено для среднего значения магнитного момента отдельного спина. Если имеется группа спинов с моментами 
для 
спина, то полный магнитный момент
Если спины не взаимодействуют друг с другом, легко показать, что уравнение (2.37) справедливо и для среднего значения полного магнитного момента. Поскольку на опыте всегда приходится иметь дело с большим количеством спннов одновременно, то, измеряя намагниченность, находим среднее значение различных компонент полной намагниченности. Иначе говоря, экспериментально наблюдаемая величина намагниченности образца представляет собой просто среднее значение полного магнитного момента. Поэтому классическое уравнение правильно описывает динамику намагниченности, если спинк могут считаться не взаимодействующими друг с другом.
Важно помнить, что уравнение (2.37) справедливо не только для постоянных полей, но и для полей, зависящих от времени. Поэтому оно позволяет пользоваться классической схемой для изучения эффектов, связанных с переменными магнитными полями. Эти эффекты рассматриваются в следующем параграфе.
